江苏省如皋中学2019-2020学年度高三第二学期期初调研考试数学试题含附加题(共19页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上江苏省如皋中学20192020学年度高三年级第二学期期初调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知（为虚数单位），则复数的模为 2已知集合，若,则实数的值为 3已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 名学生4从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为 5 某程序框图如右图所示，当输入时，输出的 6已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为 7已知变量满足约束条件则的最大值为 8已知为锐角，且，则 9已知正四棱柱中，为上底面中心设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，则 10已知等比数列的前项和为，且，则 11已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于两点，且，则直线的斜率为 12若，且，则最小值为 13已知中，平面上一点满足，则 14已知，若存在，使得成立，则实数的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)已知（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的值域16(本小题满分14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为平行四边形，面，三角形为正三角形（1）若为中点，证明：；（2）若，证明：面17 (本小题满分14分)过椭圆上一点作两条直线与椭圆另交于点，设它们的斜率分别为（1）若，求的面积；（2）若，求直线的方程18 (本小题满分16分)从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字设，五个正方形的面积和为（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；（2）求面积最小值图1 图219 (本小题满分16分)若函数的图像上存在两个不同的点关于轴对称，则称函数图像上存在一对“偶点”（1）写出函数图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）（2）证明：函数图像上有且只有一对“偶点”；（3）若函数图像上有且只有一对“偶点”，求的取值范围20 (本小题满分16分)已知数列满足：，（1）若是等差数列，且公差，求数列的通项公式；（2）若、均是等差数列，且数列的公差，求数列的通项公式数学（附加题）21 (本小题满分10分)已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求22 (本小题满分10分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系直线的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为2sin，求直线被曲线所截的弦长 23 (本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，与交于点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值24 (本小题满分10分)若排列中存在使得（），则称为排列的一个“极小值”，例如：排列2，1，4，3，5中有两个极小值1和3记正整数的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为（1）求，；（2）求江苏省如皋中学20192020学年度高三年级第二学期期初调研测试数 学试题参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 解： 5分所以函数的最小正周期为 7分 8分 因为， 所以，所以 11分所以函数的值域为 14分16.证明：取的中点，连接.在中，因为分别为中点，所以/且2分因为底面为平行四边形，所以/，为的中点，所以4分所以/且，所以四边形为平行四边形, 所以/因为平面，平面， 所以/ 平面 7分取的中点,连接.因为侧面为正三角形，所以9分因为平面平面，平面，平面平面, 所以平面 11分因为平面，所以，因为，所以,因为，平面，所以平面 13分因为平面，所以平面平面 14分17.解：因为，所以直线方程分别为由 得：，由此解得， 所以， 所以2分同理可得： 4分所以直线的方程为所以6分设的中点为点 当直线过原点时，点与点重合.因为， 所以， 所以直线的方程为8分当直线不过原点时. 设 在中，因为， 所以，在中，因为， 所以，所以点三点共线，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为 10分设直线的方程为，由 得：，所以，所以直线斜率为，所以直线的斜率与直线斜率不相等，点三点不共线（与上面的结论矛盾）.综上：所求直线的方程为 14分18. 解：过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点分别为小正方形和大正方形边的中点. 所以小正方形的边长为，大正方形的边长为 2分所以五个正方形的面积和为4分因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，所以，所以的取值范围为，6分答：面积关于的函数表达式为，的取值范围为， 7分法一：，其中10分所以, 此时，因为，所以，所以12分所以，化简得： 由此解得：，因为，所以15分答：面积最小值为 16分法二：9分 令，则， 设令 得：11分极小值 所以时，面积最小值为15分答：面积最小值为 16分19.函数图像上一对“偶点”的坐标为 2分设，因为的定义域为，且，所以函数为奇函数 4分要证：函数图像上有且只有一对“偶点”，只需证：在上有且只有一个零点，令，得 ，所以，函数在上为单调减函数，在上为单调增函数， 所以函数在上有且只有一个零点所以函数图像上有且只有一对“偶点” 7分（3）设，因为的定义域为，且 所以函数为奇函数.因为函数图像上有且只有一对“偶点”，所以函数在有且只有一个零点 9分 当时，因为， 所以函数在上为单调增函数，所以所以函数在无零点 11分当时， 由得：，所以函数在上单调减函数，在上单调增函数所以， 设，所以函数在上单调增函数，在上单调减函数所以， 所以所以设，设， 因为，所以函数在单调增函数所以，所以函数在单调增函数所以，所以当时，因为函数在上单调增函数，所以函数在上有且仅有一个，使得 15分综上：的取值范围为 16分20.因为是等差数列，且公差， 所以 2分 所以，因为 4分所以上面式子相加得：所以 6分 当时也满足上面的通项综上：数列的通项公式7分因为是等差数列，且数列的公差，所以， ，-得：， 即9分所以，因为是等差数列，设等差数列的公差为，所以，由此解得：所以，满足， 即 12分因为， 所以，所以，当时， 所以当时， ， 所以 15分综上：数列的通项公式16分数学附加题21. 解：因为向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量 所以， 得：， 所以 4分若，且, 则所以 10分22因为直线的参数方程为 所以直线的直角坐标方程为2分因为曲线的极坐标方程是，所以，因为， 所以 所以曲线的直角坐标方程为 5分曲线的圆心到直线的距离 所以直线被曲线截得弦长为 10分23.因为AC3，BC4，AB5，所以，所以以为坐标原点，射线分别为轴、轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 则，设， 因为，所以，所以 2分 所以设异面直线与所成角为， 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 5分设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.，所以，令，得：， 所以，同理可得： 所以，由图可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为10分24.解：（1）若将1,2,3排成满足题意的排列，只需将1排中间即可，所以.若将1,2,3,4排成满足题意的排列，可分成两类：1）1排在首位或末位，此时2必须排在3、4之间，共有个；2）1不排在首位也不在末端，共有个.所以. 3分（2）一般地，1）若1排在两端，1必不为“极小值”，则余下个数中必须有且只有一个“极小值”，此时满足题意的排列共有个；5分2）若1排在第号位，1必为极小值，则余下个数中不得再有“极小值”出现，从余下个数中抽取个数排在1的左侧，这个数中的最小数必须排在首位或紧靠1的左侧，否则它即为极小值，矛盾.依次类推，这个数共有种排法.故，此时满足题意的排列共有个 7分所以1不排在两端的排列个数为所以=.，特别地，当时，也适合 所以 10分 专心-专注-专业