圆锥曲线——仿射变换(共14页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积.仿射变换定理二：（拉伸短轴）；（压缩长轴）.拉伸短轴后点的坐标变化：，横坐标不变，纵坐标拉伸倍.斜率的变化：如图纵坐标拉伸了倍，故，由于.，（水平宽不变，铅垂高缩小）.压缩长轴后点的坐标变化：，纵坐标不变，横坐标缩小倍.斜率的变化：如图横坐标缩小了倍，故，由于.，（水平宽扩大，铅垂高不变）.例1（2013·新课标）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A. ； B. ； C. ； D. .例2（2016·北京）已知椭圆过点两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.例3（2014·新课标）已知点，椭圆离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.二、椭圆的角平分线定理仿射变换定理三：若点是椭圆上的点，与椭圆长轴交点为，在长轴上一定存在一个点，当且仅当时，即长轴为角平分线.若点是椭圆上的点，与椭圆短轴交点为，在短轴上一定存在一个点，当且仅当时，即短轴为角平分线.例4（2018·全国卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.三、放射变换后圆心角为直角问题仿射变换定理四：若以椭圆的对称中心引出两条直线交椭圆于两点，且，则经过仿射变换后，所以为定值.仿射变换定理五：若椭圆上三点，满足；，三者等价.例5（2011·山东）已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.（1）证明和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.例6（2016·浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设是椭圆上的三点，且满足，其中为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：的面积是一个常数.四、中点弦与中垂线问题（无需点差法也可证明）仿射变换定理六：中点弦问题，；中垂线问题，且.拓展1：椭圆内接中，若原点为重心，则仿射后一定得到为的等腰三角形；为等边三角形.拓展2：椭圆内接的平行四边形，在椭圆上，则仿射后一定得到菱形.例7（2015·新课标）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，请说明理由.例8（2015·浙江）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点）.五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题若椭圆内含有圆与直线相切，如图直线与圆相切于，交椭圆于点，求的最大值.首先进行仿射变换：，令，拉伸后可知，故当最大时，关键在于看的取值范围；根据几何性质，平行于轴时，最小，平行于轴时，最大.例9（2018·武汉模拟）已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且以为直径的圆经过原点，求证：点到直线的距离为定值；（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.例10（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为.（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第一象限内的点.若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.六、定比分点和弦长公式仿射变换定理七：定比分点的比值不变性原理，.仿射变换定理八：弦长公式的转化，纵向拉伸并不改变横向的性质，设，则，即.例11（2011·重庆）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值；若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.例12（2016·四川）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点.求证：存在常数，使得，并求的值.例13（2016·重庆模拟）椭圆，作直线交椭圆于两点，为线段的中点，为坐标原点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与轴交于点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程.达标训练1（2018·三明期末）设椭圆的离心率为，且内切于圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于两点，椭圆上一点，求面积的最大值.2（2018·龙海期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，是坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.3. 如图，已知是长轴为4的椭圆上的三点，点是长轴的右顶点，过椭圆中心，且，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过关于轴对称的点作椭圆的切线，则与有什么位置关系？证明你的结论.4（2016·佛山二模）已知点是圆上一动点，点是在轴上的投影，为线段上一点，且与点关于原点对称，满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点做的切线与圆相交于两点，当面积取最大值时，求的方程.5（2018·株洲期末）椭圆上的两点关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ）A. ； B. ； C. ； D. .6（2016·兰州模拟）已知椭圆的焦点坐标是，过点垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过定点且斜率为的直线与椭圆相交于不同两点，试判断：在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.7（2018·抚顺模拟）已知离心率为的椭圆，右焦点在椭圆上的点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的两个动点，直线与椭圆的另一个交点分别为，且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由.8（2017·淮北一模）已知椭圆，直线与圆相切且与椭圆交于两点.（1）若线段中点的横坐标为，求的值；（2）过原点作的平行线交椭圆于两点，设，求的最小值.9（2012·山东）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆有两个不同的交点，与矩形有两个不同的交点，求的最大值及取得最大值时的值.10（2019·成都模拟）已知椭圆的离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）若一条不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，且恰好构成等比数列，求的值.11. 如图，已知椭圆的中心在原点，左焦点为，左顶点为，且为的中点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的方程为，椭圆的方程为，则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆，已知是椭圆的3倍相似椭圆，若椭圆的任意一条切线交椭圆于两点，试求弦长的最大值.12（2016·宁波二模）已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，的面积为1，当点在椭圆上运动时，试问是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出的取值范围.专心-专注-专业