教案：变化率与导数、导数的计算 (共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、导数的运算法则1f(x)±g(x)f(x)±g(x)；2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)(理)4.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积基础自测1若f(x)xex，则f(1)()A0BeC2e De2解析：选Cf(x)exxex，f(1)2e.2曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A2 B2C. D解析：选A依题意得y1ln x，yxe1ln e2，所以×21，a2.3某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2解析：选A由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得t2时，a(2)v(2)12×21014(m/s2)4曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_解析：y3x21，yx13×1212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.答案：2xy105函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x题型1利用导数的定义求函数的导数例1用定义法求下列函数的导数(1)yx2；(2)y.自主解答(1)因为2xx，所以y (2xx)2x.(2)因为y，4·，所以 .变式练习1一质点运动的方程为s83t2.(1)求质点在1,1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)解：(1)s83t2，s83(1t)2(83×12)6t3(t)2，63t.(2)法一(定义法)：质点在t1时的瞬时速度vli li (63t)6.法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度vs(t)(83t2)6t.当t1时，v6×16.题型2导数的运算例2求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y； 自主解答(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.则y(ln u)u·2，即y.变式练习2求下列函数的导数(1)yex·ln x；(2)yx；解：(1)y(ex·ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.题型3导数的几何意义例3(1)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9B3 C9 D15(2)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A B2 C4 D自主解答(1)y3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y123(x1)，令x0得y9.(2)曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)k2.又f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24，故切线的斜率为4.答案(1)C(2)C变式练习3(1)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为()A2 B1C D1解析：(1)y3ln x13，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y14(x1)，即y4x3.(2)设切点的坐标为，依题意，对于曲线yxln x，有y，所以，得a1.又切点 在直线yxb上，故b，得b1.答案：(1)y4x3(2)B课后练习A组1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选Cf(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)2已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D.解析：选Ds2t，s|t24.3已知a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x By2xCy3x Dy2x解析：选Bf(x)x3ax2(a2)x，f(x)3x22axa2.f(x)为偶函数，a0.f(x)3x22.f(0)2.曲线yf(x)在原点处的切线方程为y2x.4设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2解析：选Ay，y|x1.由条件知1，a1.5若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C. D.解析：选B设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|xx02x01.得x01或x0(舍)P点坐标(1,1)P到直线yx2距离为d.6f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数解析：选C由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0，所以f(x)g(x)C(C为常数)7已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.解析：f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.答案：88已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：易知抛物线yx2上的点P(4,8)，Q(2,2)，且yx，则过点P的切线方程为y4x8，过点Q的切线方程为y2x2，联立两个方程解得交点A(1，4)，所以点A的纵坐标是4.答案：49已知函数f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tan x0_.解析：由f(x)xsin xcos x得f(x)cos xsin x，则kf(x0)cos x0sin x01，即sin x0cos x01，即sin1.所以x02k，kZ，解得x02k，kZ.故tan x0tantan.答案：10求下列函数的导数(1)yx·tan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；解：(1)y(x·tan x)xtan xx(tan x)tan xx·tan xx·tan x.(2)y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x3)3x212x11.11已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a>0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线12设函数f(x)x3ax29x1，当曲线yf(x)斜率最小的切线与直线12xy6平行时，求a的值解：f(x)3x22ax9329，即当x时，函数f(x)取得最小值9，因斜率最小的切线与12xy6平行，即该切线的斜率为12，所以912，即a29，即a±3.B组1等比数列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)为函数f(x)的导函数，则f(0)()A0 B26C29 D212解析：选Df(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f(x)x(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)(xa1)(xa8)x(xa1)(xa8)，f(0)(a1)·(a2)··(a8)0a1·a2··a8(a1·a8)4(2×4)4(23)4212.2已知f1(x)sin xcos x，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*，n2)，则f1f2f2 012_.解析：f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)cos xsin x，f5(x)sin xcos x，以此类推，可得出fn(x)fn4(x)，又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0，f1f2f2 012503f1f2f3f40.答案：03已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程(1)直线l和yf(x)相切且以P为切点；(2)直线l和yf(x)相切且切点异于P.解：(1)由f(x)x33x得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，故所求的直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，所以3x3，即x3x023(x1)(x01)解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3.所以l的方程为y(2)(x1)， 即9x4y10.4、设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，则解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0·(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.专心-专注-专业