浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案(共20页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018·北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值.解(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2).从而k3.所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1).令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN.所以··2.所以为定值.考 点 整 合1.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主要有以下三种情况：(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系.(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.热点一定点与定值问题 考法1定点的探究与证明【例11】 (2018·杭州调研)椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.(1)解由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，则椭圆方程变为1.又由题意知，解得c1，故a24，b23，即得椭圆的标准方程为1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0，则y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2.由>0，得34k2m20，当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾.当m2时，l的方程为yk，直线过定点，且满足，直线l过定点，定点坐标为.探究提高(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0).(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.考法2定值的探究与证明【例12】 (2018·金丽衢联考)已知O为坐标原点，直线l：xmyb与抛物线E：y22px(p>0)相交于A，B两点.(1)当b2p时，求·；(2)当p且b3时，设点C的坐标为(3，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消元得y22mpy2pb0，所以y1y22mp，y1y22pb.(1)当b2p时，y1y24p2，x1x24p2，所以·x1x2y1y24p24p20.(2)证明当p且b3时，y1y2m，y1y23.因为k1，k2，所以m，m.因此2m22m22m212m362m212m×36×12m×36×24，即2m2为定值.探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练11】 (2017·北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px，得p，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由得4k2x2(4k4)x10.考虑(4k4)24×4k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10.所以y12x1.故A为线段BM的中点.【训练12】 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则y01.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|·|BM|··4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|·|BM|4.故|AN|·|BM|为定值.热点二最值与范围问题考法1求线段长度、面积(比值)的最值【例21】 (2018·湖州调研)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：ykx4(1<k<2)与y轴、抛物线C分别相交于P，A，B(自下而上)，记PAF，PBF的面积分别为S1，S2.(1)求AB的中点M到y轴的距离d的取值范围；(2)求的取值范围.解(1)联立消去y得，k2x2(8k4)x160(1<k<2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以d22.(2)由于，由(1)可知·22，由>得，417·4>0，解得>4或<.因为0<<1，所以0<<.由<7得，7·1<0，解得<<，又<1，所以<<1.综上，<<，即的取值范围为.探究提高(1)处理求最值的式子常用两种方式：转化为函数图象的最值；转化为能利用基本不等式求最值的形式.(2)若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出现复杂的式子时可用换元法).【训练21】 (2018·温州质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x2y2相切的直线l交椭圆C与A，B两点，求OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程.解(1)由题意可得解得a23，b21，y21.(2)当k不存在时，直线为x±，代入y21，得y±，SOAB××；当k存在时，设直线为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得消y得(13k2)x26kmx3m230，x1x2，x1x2，直线l与圆O相切dr4m23(1k2)，|AB|···×2.当且仅当9k2，即k±时等号成立，SOAB|AB|×r×2×，OAB面积的最大值为，m±±1，此时直线方程为y±x±1.考法2求几何量、某个参数的取值范围【例22】 已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围.解设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.(1)当t4时，E的方程为1，A(2，0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2×××.(2)由题意t>3，k>0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，当k时上式不成立，因此t.t>3等价于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(，2).探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.(3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练22】 (2018·台州调研)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc).由已知，有，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.一、选择题1.F1，F2是椭圆y21的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最大值是()A.2 B.1 C.2 D.4解析设P(x，y)，依题意得点F1(，0)，F2(，0)，·(x)(x)y2x2y23x22，注意到2x221，因此·的最大值是1.答案B2.(2018·镇海中学二模)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A.2 B. C. D.解析根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|d.抛物线的方程为y2x2，即x2y，其准线方程为y，当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min.答案D3.设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120°，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)解析(1)当焦点在x轴上，依题意得0<m<3，且tan.0<m<3且m1，则0<m1.(2)当焦点在y轴上，依题意m>3，且tan，m9，综上，m的取值范围是(0，19，).答案A4.已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|()A.3 B.5 C.6 D.10解析因y28x，则p4，焦点为F(2，0)，准线l：x2.如图，M为FN中点，故易知线段BM为梯形AFNC的中位线，|CN|2，|AF|4，|MB|3，又由定义|MB|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|2|MB|6.答案C5.(2018·北京西城区调研)过抛物线y24x的焦点的直线l与双曲线C：y21的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2>0，则直线l的斜率k的取值范围是()A. B.C. D.解析易知双曲线两渐近线为y±x，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k>或k<时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2>0.答案D6.在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A.(0，1) B.(0，2)C.(2，0) D.(1，0)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简得yx1xy1，同理，在点B处的切线方程为yx2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过点(0，2).答案B二、填空题7.已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x24xy220相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为y±x，即bx±ay0，圆x24xy220可化为(x2)2y22，其圆心为(2，0)，半径为.因为直线bx±ay0和圆(x2)2y22相交，所以，整理得b2a2.从而c2a2a2，即c22a2，所以e22.又e1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，).答案(1，)8.(2018·金华质检)已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是_，椭圆的离心率为_.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即3，可求得b23，即b，e.答案9.已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为_，此时圆Q的方程为_.解析如图，在RtQPF中，·|cosPFQ|2|21.由抛物线的定义知：|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，|min2，·的最小值为3.此时圆Q的方程为x2y21.答案3x2y2110.(2018·温州模拟)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_.解析不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0).则|AC|BD|y1x2y1.又y1y2p24，|AC|BD|(y2<0).设g(x)(x0)，则g(x)，从而g(x)在(，2)递减，在(2，0)递增.当x2时，|AC|BD|取最小值为3.答案311.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_.解析联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，又F(c，0)，则，又由BFC90°，可得·0，代入坐标可得：c2a20，又因为b2a2c2，代入式可化简为，则椭圆离心率为e.答案三、解答题12.(2018·北京海淀区调研)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.(1)解由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.故kAPkAQ为定值2.13.(2018·杭州调研)已知F是抛物线T：y22px(p>0)的焦点，点P是抛物线上一点，且|PF|2，直线l过定点(4，0)，与抛物线T交于A，B两点，点P在直线l上的射影是Q.(1)求m，p的值；(2)若m>0，且|PQ|2|QA|·|QB|，求直线l的方程.解(1)由|PF|2得，12，所以p2，将x1，ym代入y22px得，m±2.(2)因为m>0，故由(1)知点P(1，2)，抛物线T：y24x.设直线l的方程是xny4，由得，y24ny160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24n，y1·y216.因为|PQ|2|QA|·|QB|，所以PAPB，所以·0，且12n4，所以(x11)(x21)(y12)(y22)0，且n.由(ny13)(ny23)(y12)(y22)0得，(n21)y1y2(3n2)(y1y2)130，16(n21)(3n2)·4n130，4n28n30，解得，n(舍去)或n，所以直线l的方程是：xy4，即2xy80.14.(2018·绍兴模拟)如图，已知函数y2x图象上三点C，D，E，直线CD经过点(1，0)，直线CE经过点(2，0).(1)若|CD|，求直线CD的方程；(2)当CDE的面积最小时，求点C的横坐标.解设C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，直线CD的方程为：xmy1.由得：y2my10，从而(1)由题意，得|CD|×，得m±1，故所求直线方程为x±y1，即x±y10.(2)由(1)知y2，同理可得y3，E，并不妨设y1>0，则E到直线CD的距离为d，SCDE×××，而my1y2y1，所以SCDE×，得SCDE.考虑函数f(x)x，令f(x)10，得x2时f(x)有最小值，即x1y时，CDE的面积最小，也即CDE的面积最小时，点C的横坐标为. 15.(2018·湖州调研)已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，又l与直线yx，yx分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且OAB的面积为2(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围.解(1)由于b1且离心率e，则a22，因此椭圆的方程为y21.(2)联立直线l与直线yx，可得点A，联立直线l与直线yx，可得点B，又点A在第一象限，点B在第二象限，化为m2(14k2)>0，而m20，14k2>0.又|AB|，原点O到直线l的距离为，即OAB底边AB上的高为，SOAB·2，m214k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l代入椭圆方程，整理可得：(12k2)x24kmx2m220，x1x2，x1·x2，16k2m24(12k2)(2m22)48k2>0，则k2>0，y1·y2(kx1m)(kx2m)，·x1x2y1y27.0<k2<，12k2，·.故·的取值范围为.专心-专注-专业