余弦定理优质课课件.ppt

1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：复习回顾：RCcBbAa2sinsinsin 正正弦弦定定理理：3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角4 4、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化复习回顾：2 2、A+B+C=A+B+C= 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置先在地面上选一适当的位置A A，量出，量出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，再的距离，再利用经纬仪测出利用经纬仪测出A A对山脚对山脚BCBC（即线段（即线段BCBC）的张角，最后通过计）的张角，最后通过计算求出山脚的长度算求出山脚的长度BCBC已知：AB、 AC、角(两条边、一个夹角)实际问题实际问题实际问题数学化: 在ABC中，已知边AC，BC及C ,求AB.ABc分析转化分析转化 任意一个三角形，已知两边和夹角，求第任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边三边.c=?若若ABC为任意三角形，已知为任意三角形，已知BC=a，AC=b及及C，求，求AB边长边长c.即ABcab一般化问题一般化问题 0 02 22 22 2 A AB B= = A AC C+ +2 2 A AC C C CB B c co os s( (1 18 80 0 - - C C) )+ + C CB B证明：证明：222222c = a +b -2abcosCc = a +b -2abcosC向量法向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCaCabbaccos2222bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点垂直于点垂直于CB的直线为的直线为y轴，建立如轴，建立如图所示的坐标系，则图所示的坐标系，则A、B、C三点三点的坐标分别为：的坐标分别为：( cos, sin)A bC bC222222c = a +b -2abcosCc = a +b -2abcosCxy( ,0)B a(0,0)C坐标法坐标法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222 三角形三角形任任何一边的平方等于何一边的平方等于其他两边平方的和减去其他两边平方的和减去这这两边与它们两边与它们夹夹角的余弦的积的两倍角的余弦的积的两倍.222222- -c = a +b2abcosCc = a +b2abcosC222222- -a = b +c2bccosAa = b +c2bccosA222222- -b = a +c2accosBb = a +c2accosB余弦定理余弦定理ABCabc余余 弦弦 定定 理理问题问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？两个定理之间的关系？剖剖 析析 定定 理理勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）剖剖 析析 定定 理理2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA 222090cbaA 222090cbaA abcbaC2cos222问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？剖剖 析析 定定 理理（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；2 22 22 2b b+ + c ca ac c o o s s A A = =- -2 2 b b c c2 22 22 2a a+ + c cb bc c o o s s B B = =- -2 2 a a c c2 22 22 2a a+ + b bc cc c o o s s C C = =- -2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理例例1 在在ABC中，已知中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41 ，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1，边长精，边长精确到确到1 cm）.解：解：方法一：方法一： 根据余弦定理，根据余弦定理， a=b+c-2bccosA =60+34-26034cos41o 1 676.82， a41(cm).接上页接上页 由正弦定理得，由正弦定理得，因为因为c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C是锐角，是锐角，利用计算器可得利用计算器可得C33，B=180o-(A+C)180o-(41o+33o)=106.例例1 在在ABC中，已知中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41 ，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1，边长精，边长精确到确到1 cm）. 根据余弦定理，根据余弦定理， a a=b=b+c+c-2bccosA-2bccosA =60 =60+34+34-2-260603434cos41cos41o o1 676.821 676.82， a41(cm).a41(cm).由余弦定理得由余弦定理得所以利用计算器可得所以利用计算器可得C33C33， B=180B=180o o-(A+C)180-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106)=106. .方法二：方法二：注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.思考思考: :在解三角形的过程中，求某一个角时既在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？么利弊呢？例例 2、在、在ABC中，已知中，已知a7，b10， c6，求，求A、B和和C.解：解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36 B180(AC)100. .sinC 0.5954, C 36或或144( (舍舍).).c sinA a()Bacacbcos2222 解：解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和二角一边和二角( (如如a,B,Ca,B,C) )两边和夹角两边和夹角( (如如a,b,Ca,b,C) )两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角( (如如a,b,Aa,b,A) )三边三边( (a,b,ca,b,c) )由由A+B+C=180A+B+C=180求角求角A,A,由正弦定理由正弦定理求出求出b b与与c.c.解三角形的四种基本类型解三角形的四种基本类型正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c c，再由正弦，再由正弦定理求出剩下的角定理求出剩下的角. .正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,B,再求角再求角C,C,最后最后求出求出c c边边. .可有两解可有两解, ,一解或无解一解或无解. .余弦定理余弦定理先由余弦定理求出其中两个角先由余弦定理求出其中两个角, ,再利用内再利用内角和为角和为180180求出第三个角求出第三个角. .练习练习CA201练习练习ABC中,（1）a4，b3，C60，则c_；14.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _.104.5（3）a2，b4，C135，则A_.13练习练习1. 1.余弦定理余弦定理 推论推论2 22 22 2b b+ + c c- - a ac co os sA A = =，2 2b bc c2 22 22 2c c+ + a a- - b bc co os sB B = =，2 2c ca a2 22 22 2a a+ + b b- - c cc co os sC C = =2 2a ab b2.2.余弦定理的作用余弦定理的作用（1 1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2 2）已知两边和它们的夹角，求第三边）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角和其它两角课堂小结课堂小结CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222