2022年数列通项公式求法学案.pdf
名师推荐精心整理学习必备数列通项公式的常见求法学案一、观察归纳法 ：观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。例 1 写出下列各数列的一个通项公式。1 4916,;2 5 10 171 1111,;3 715 313 7 15 31,;4 8 16 3221,203,2005,20007，；0.2,0.22,0.222,0.2222，； 1,0,1,0，；3 1 5 1 71,;2 3 4 5 6二、公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式例 2等差数列na是递增数列，前n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，255aS求数列na的通项公式 . 解：设数列na公差为)0(dd931,aaa成等比数列，9123aaa，即)8()2(1121daadadad120d，da1255aS211)4(2455dada由得：531a，53dnnan5353)1(53练一练： 1. 已知等差数列na的公差d大于0, 且52,aa是方程027122xx的两根 , 数列nb的前n项和为nT, 且nnbT211. 求数列na,nb的通项公式；三、累加法：若1( )nnaaf n 求na ，f(n) 可以是关于 n 的一次函数、 二次函数、指数函数、分式函数形式的函数。（1） 若 f(n) 是常数，则为等差数列， 利用等差数列通项公式即可；若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后转化为等差数列求和。例 3 已知na的首项11a，naann21（*Nn）求通项公式。解：) 1(21naann)2(221naann) 3(232naann2223aa1212aannnaan21)1(21 212nnan练习：已知数列na满足11a，naann1(2)n，则na=_ ；（2） 若 f(n) 是二次函数形式，累加后利用分组求和。例4 已 知 数 列na满 足2111,2.nnaaann n求na（ 补 充 ：2222(1)(21)1236n nnn）（3） 若 f(n) 是含指数函数形式，累加后转化等比数列求和。例 5 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：由12 31nnnaa得12 31nnnaa则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan练习：已知na中，31a，nnnaa21，求na。（4）若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 6 在数列na中，1113,(1)nnnaaaan n求练习：已知数列na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式. 四 累乘法适用于：1( )nnaf n a的形式，其中 f(1) f(2) f(3) f(n) 的值可求。例 7111,(1)(2)nnnananan在数列中，已知 a有，na求数列的通项公式。练习： 1、1+14,5nnnnnaaaa在数列中，已知 a有, 求数列的通项公式。2、 （提高）数列na各项均为正数，11a且2211(1)0,.nnnnnnanaaaa求五、构造法（1）形如1(01,0)nnaAaB ABAAB、 为常数，且的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 A的等比数列后 ，再求na 。（i ）若 A=1时，数列 na为等差数列；若B=0时，数列 na 为等比数列 ; （ii ）1,0AB时方法：令1+()nnatA at ，则-,At tB 求t 即可 ，则+nat 为公比等于A的等比数列，利用公式求解。例 8 已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 解： 设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann. 故递精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备推公式为) 3(231nnaa, 令3nnab，则4311ab, 且23311nnnnaabb所以nb是以41b为首项， 2 为公比的等比数列，则11224nnnb, 所以321nna. 练习 1 已知111,32nnaaa，求na； (2)形如：nnnqapa1 (其中 q 是常数，且 n0,1) 若 p=1时，即：nnnqaa1，累加即可 . 若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1np. 目的是把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111, 令nnnpab，则nnnqppbb)(11, 然后类型 1，累加求通项. ii.两边同除以1nq . 目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111,令nnnqab, 则可化为qbqpbnn11. 然后转化为类型 (1) 来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa. 通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项 . 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 9 已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一（待定系数法） ：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna，即114 35 2nnna解法二（两边同除以1nq） ： 两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略解法三（两边同除以1np） ： 两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略练习： 1、已知na中，1112,22(2),nnnnaaana求扩展视野：（3）形如21nnnapaqa时将na 作为( )f n求解分析：原递推式可化为211()() nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例 10 已知数列na满足211256,1,2nnnaaa aa，求数列na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备比较系数得3或2，不妨取2， （取 -3 结果形式可能不同，但本质相同）则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为 4，公比为 3 的等比数列1124 3nnnaa，所以114 35 2nnna练习 . 数列na中，若2,821aa, 且满足03412nnnaaa, 求na. 答案：nna311. 六、倒数法形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。分子只有一项例 11：1,13111aaaannn解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan练一练 ：1. 已知数列na中， an， a121，a1nnnaa21（nN ）求 an七、阶差法（逐项相减法）递推公式中既有nS ，又有na分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS 的递推关系， 然后采用相应的方法求解。例 12已知数列na的前n项和nS满足1,) 1(2naSnnn求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211nnnnnnaaSSa1122 ( 1),nnnaa,)1(22221nnnaa，. 2212aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaa.) 1(2323) 2(1 2) 1(2)2()2() 2() 1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以)1(23212nnna点评 ：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并 练一练： 1. 数列na满足11154,3nnnaSSa，求na；2、已知数列na中, 0na且2) 1(21nnaS, 求数列na的通项公式 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -
