山东春考数学知识点汇总于老师(共6页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第一章 集合与简易逻辑1.1-1.2 集合及其运算1.集合定义：把一些确定的元素看成一个整体，这个整体就是由这些元素构成的集合.2.元素的特性：确定性、互异性、无序性.3.元素与集合关系：有属于和不属于两种，表示符号为 和 .4.常见集合字母表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN+或 N*ZQR5集合分类：按元素个数可分:有限集、无限集；按元素特征分：数集、点集、坐标集等.6. 集合表示法：列表法、性质描述法、图像法（wenn 图像、数轴表示、区间表示）7. 集合关系：描述关系文字语言符号语言集合相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同A=B间的子集A 中任意一元素均为 B 中的元素AB 或 B A基本真子集A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一个元素 A 中没A B或 BA关系有空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集8.集合运算：集合运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为 U，则集合 A 的补集为CUA.图形表示意义集合 A 与 B 的全部集合 A 与 B 的公共元全集 U 中所有元素，元素，A 或 B.素，A 且 B.除去集合 A 中元素的部分.性质A B = B A；A B = B A；A CUA.=U；A CUA.=；CU（CUA）=A；A A = A；A A = A；A = A = A；A = A = A；CUACUB=CU（A B）；CUACUB=CU（A B）；A B A B = BA B A B = A【注意】1任何一个集合是它本身的子集；2如果 AB，同时 BA，那么 A = B；如果 AB，BC, 那么 AC；3n 元素集合，有子集2n个；n 元素集合，有真子集有2n 1 个；n 元素集合，有非空真子集有2n 2个.1.3-1.4 逻辑用语充要条件1命题概念:可判断真假的文字或符号的，陈述性语句不具备判断性 例：2x + 1 = 5不是命题 疑问、感叹、祈使等非陈述句命题真命题：不符合客观事实判断是命题 假命题：符合客观事实判断2、四种命题关系1命题联系：2真假关系：互为逆否命题，有相同的真假性；互逆命题或互否命题，真假性不可判断3、逻辑连接词：且、或、非，符号“、”.1且p q：一假则假 2或p q：一真则真 3非p：与原命题真值相反4原命题变非命题简单命题：直接否定判断词单一命题 命题 量词命题：互换和，否定判断词p q p q 复合命题 2p q p q【注】A、 p：非命题(命题的否定)，只否结论，与原命题真值相反。B、 否命题：条件结论都否定，真值不具备判断性。C、 常用的量词有全称量词和存在量词，用符号表示为和. D、含有全称量词的命题，叫做全称命题，含有存在量词的命题，叫做存在命题。常用判断词否定判 断=><是所有的任意的至少有一个至多有一个词否定不是至少一个不某个一个也没有至少有两个4、真值判断表格pqpqp qp q( )( )p qp qTTTFFTFF5、充要条件1如果 pq，qp，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件2如果 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件定义：条件符号表示p 是 q 的q 是 p 的“若 p，则 q”真，“若 q，则 p”假pq,且 qp充分不必要条件必要不充分条件“若 p，则 q”假，“若 q，则 p”真pq,且 q p必要不充分条件充分不必要条件“若 p，则 q”真，“若 q，则 p”真p q,且 q p充要条件“若 p，则 q”假，“若 q，则 p”假pq,且 qp既不充分又不必要条件集合：Ax|p(x)，Bx|q(x).条件p 是 q 的q 是 p 的AB充分不必要条件必要不充分条件BA必要不充分条件充分不必要条件小推大，少推多。AB充要条件AB 且 BA既不充分又不必要条件第二章 方程与不等式2.1 一元二次方程1. 一元二次方程：ax2 + bx + c = 0（a,b, c 为常数且 a 0）只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 21山东春考数学于文军专心-专注-专业的整式方程，称一元二次方程。【a二次项系数、b 一次项系数、c 常数项】 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，称方程的解；求方程的解或确定方程无解的过程，称解方程。3.一元二次方程解法：开平方（根式）、配方法（系数化一、加一次项系数一半的平方）、因式分解（公式法-平方差完全平方、提公因式法、十字相乘）、求根公式（x = ± 24 ）。2 4. 韦达定理：若方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两根为x1, x2,则x1 + x2 = ba , x1 x2 = ac。【注：> 0】2.2-2.3 不等式性质与绝对值不等式1不等式基本性质：a > b a b > 0；a < b a b < 0；a = b a b = 0.2不等式证明-作差法：1作差2配方3证明3不等式性质：1对称性：a > b b > a2传递性：a > b、b > c a > c3加法法则a > b a ± c > b ± d移项法则：a + b > c a > c b4同向可加性：a > b、c > d a + c > b + d乘法法则：a > b、c > 0 ac > bd；a > b、c < 0 56ac < bd同向可乘：如果a > b > 0，且 c > d > 0 ac > bd 乘方法则：若a > b > 0 ann> b .n N 且 n > 1/789nn1011b.n N 且 n > 1/< b开方法则：若a > b > 0 a >取倒数法则：a > b，ab > 0 a4一元一次不等式解法：将一元一次不等式变形为标准形式：例：ax > b1时，ax > b的解集为2 >3，用区间表示为.， + /当a > 02当a < 0 时，ax > b的解集为2 <3，用区间表示为.， /5一元一次不等式组解法：1解出每个一元一次不等式. 2在数轴中确定公共部分或确定无解. 3答案表示为集合或区间形式.6 含有绝对值不等式解法开口a>0 开口向上a < 0开口向下判别式 b24ac> 000二次函数ax2bxc = 0(a0)的图象来一元二次方程有两个相异实根有两个相等实根ax2bxc0没有实数根x ，x (x x)x x (a0)的根1212122 ax2bxc02 | < 1或 > 23* | 0+R(a0)的解集ax2bxc0* | 1 < < 2+(a0)的解集3. 不等式恒成立：1不等式ax2bxc0 ( 0)恒成立的条件：a > 0; < 0. 2不等式ax2bxc < 0 ( 0)恒成立的条件: a < 0; < 0.第三章函数3.1 函数及其表示方法1. 函数的定义:集合 A 为非空数集，按照某种确定的对应关系 f，A 中任意实数 x 都有唯一确定的实数 y 与它对应，这种对应法则为集合 A 上的一个函数，记作：y=f（x）1f（x）= yx 为自变量y 为函数值（因变量）x 取值集合为定义域y 的取值集合叫值域2函数两要素自变量对应关系3函数表示方法列表法公式法图像法1| | 02如果m > 0：大于取两边，小于取中间 例：a.| | < m m < x < mb.| | m x > m 或 x < m3如果c > 0：大于取两边，小于取中间 例：a. |+ | < <+<b. |+ | >+< 或+> 【答案写集合或区间】4如果c < 0：例：a. |+ | >b. |+ | < 5如果c = 0：例：a. |+ | >+ 0b. |+ | < 2. 常见函数定义域1整式函数y = f(x)，定义域 R.2n3函数y =f（x） (n N+)，定义域 f（x）0.05函数y = 0f（x）1 ，定义域 f（x）0.7对数函数 y=logax（a> 0且 a1），定义域 x>02分式函数y = f（x） ，定义域 g（x）0.g（x）4函数y = 2n+1f（x）(n N+)，定义域 R.6指数函数 y=ax (a> 0且 a1) ，定义域 R8正切函数y = tanx . 2 + 2 ， /2.4 一元二次不等式1. 一元二次不等式：ax2bxc0 或 ax2bxc < 0 ( 0)ax2bxc 0 或 ax2bxc 0 ( 0)2. 解法：开口、画图3. 复合函数1复合函数：如果函数 y=f（t）的定义域为 A,且 t=g（x）的定义域 D、值域为 C，则当C A时，称函数y = f,g(x)-为f( )与 g( )在 D 上的复合函数，t 叫做中间变量，t=g（x）叫内函数，y=f（t）叫外函数。2复合函数求定义域：已知f, ( )-定义域，求f( )定义域；已知f( )定义域，求f, ( )-定义域。2山东春考数学于文军奇偶性定 义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有关于 y 轴对称f(x) = f(x)，那么函数 f(x)是偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x，都有关于原点对称f(x) = f(x)，那么函数 f(x)是奇函数4. 求值域：直接发、常数分离、配方法、换元法、图像（单调、奇偶、反函数）5. 求函数值 ：直接代入、代换、整体、赋值、配凑、换元、待定系数6. 分段函数：在函数定义域内，对于自变量 x 的不同区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。（分段函数为一个函数）3.2 函数的单调性1定义：1y = f( )定义域的子区间 I 内任意两个值x1，x2，当时x1 < x2 时，有f（x1） < f（x2），那么就说I称为y = f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。2y = f( )定义域的子区间 I 内任意两个值x1，x2，当时x1 < x2 时，有f（x1） > f（x2），那么就说I称为y = f（x）的增区间，当整个定义域都符合以上条件时，称为增函数。2. 单调性证明1函数的单调区间,必须先求函数的定义域；2判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：a 任取x1，x2 M，且x1 < x2；b 作差f(x1) f（x2）；c 变形（通常是因式分解和配方）；d 定号0即判断差 f(x1) f（x2）的正负1；e 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 M 上的单调性）。3. 单调区间与单调函数1单调性是定义域的某个子区间，是函数局部性质；2区间 M 内的两个自变量x1，x2必须是任意的；3反映在图象上，沿 x 轴从左到右，增函数图像递增；减函数图像下降。4.（ ）+ （ ）的单调性1f（x）增，g（x）减，则f(x) g（x）为增函数2f（x）减，g（x）增，则f(x) g（x）为减函数3f（x）和g（x）都为增（或减）,则f(x) + g（x）为增（或减）函数5. 复合函数单调性：同增异减6. 常见函数增减区间判断：y = kx + b，y =2 + + ，y = ，y = log ，y = ± ，y = x + 13.3 函数的奇偶性1. 定义2常见奇偶函数常见的奇函数常见的偶函数1f(x) = xn.n = 2k + 1，k Z/1f(x) = xn.n = 2k，k Z/nax+ax2f(x)=x.n = 2k + 1，k Z/2f(x) =.a > 0，a 1，m 0/maxax3f(x) = |x|3f(x)=.a > 0，a 1，m 0/4f(x) = cosnxm4f(x) =ax+1.a > 0，a 1/ax15f(x) = loga1+x.a > 0，a 1， 1 < x < 1/1x6f(x) sin ax7f(x) = tan ax【注意】若f(x)具有奇偶性，则定义域关于原点对称若奇函数f(x)在x = 0处有定义，则f(x) = 0定义域关于原点对称，若f(x) = 0，则f(x)既奇又偶若f(x)定义域内f(m) f(m)，则f(x)不是偶函数；若f(x)定义域内f(m) f(m)，则f(x)不是奇函数。奇函数图象关于原点对称，原点两侧的对称区间上的单调性相同；偶函数图象关于 y 轴对称，原点两侧的对称区间上的单调性相反3. 奇偶性证明定义域不关于原点对称：非奇非偶判断函数定义域f(x)偶函数定义域关于原点对称：计算 f(x) = f(x)奇函数4. 复合函数奇偶性偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非奇函数±奇函数=奇函数123偶函数4y = f( ) ( )=同偶异奇3.4 二次函数的图像和性质1. 定义与解析式1二次函数的定义：形如f(x) = ax2 + bx + c（a 0）的函数叫做二次函数. 2二次函数解析式的三种形式A一般式：f(x) = ax2 + bx + c（a 0）B顶点式：f(x) = a(x m)2 + n（a 0）C交点式：f(x) = a（x x1）（x x2）（a 0）2. 图象和性质3山东春考数学于文军图象函数性质a>0定义域xR(个别题目有限制的，由解析式确定)开口a>0a<0值域y 4ac b2， + )y .，4ac b24a4aa<0奇偶性b0 时为偶函数，b0 时既非奇函数也非偶函数x .， 1时递减，x .， 1时递增，单调性2 2 x 0， +)时递增。x 0， +)时递减。2 2 图象特点对称轴：x = ；顶点：.，4acb2/2 2 4a3. 三个二次之间的关系= b2 4acD > 0D = 0D < 0一元二次函数a>0y = ax2 + bx + ca<0的图像一元二次方程方程有两个相异实根方程有两个相等实根方程无实根ax2 + bx + c = 0的解x1，x2x1 = x2一元二次不等式a>0（ ，x1） （x2， + ）（ ，x1） （x1， + ）Rax2 + bx + c > 0a<0的解集（x1，x2）一元二次不等式a>0（x1，x2）ax2 + bx + c < 0的解集a<0（ ，x1） （x2， + ）（ ，x1） （x1， + ）R3.5 函数的应用1. 函数知识解应用题的一般步骤1审题：认真读题，准确理解题意，挖掘关键字，合理恰当的设未知量. 2建模：抽象概括数量关系，用数学语言表示，构造函数模型，确定自变量取值范围，保证自变量具实际意义.3计算：利用所学的函数知识，分析，解决数学问题. 4检验：对结果进行验证或评估，检验结果的合理性，对问题加以拓展. 5作答：根据实际情况写出最终结果.2.书写过程1设：准确列出未知数，与方程中未知数匹配. 2列：根据题意列方程，注意定义域的书写与范围. 3解：解方程，相关过程无需省略（可省略计算过程）4答：文字性叙述结果，总结。第四章 指数函数与对数函数41实数指数1. 根式定义：一个数的 n 次方等于 a（n>1，且n ），这个数称 a 的 n 次方根（若= ，则 x 称 a 的 n 次方根）.当 n 为奇数时，a 的 n 次方根记作；= .当 n 为偶数时，a<0，n 次方根为复数（不在春考范围内）；a>0，n 次方根两个且互为相反数，记作± ( > 0)； ( 0) = | | = ( 0)2. 实数幂运算)，n 个；0= 1( 0).= ( 12111 ( );1且 > 1/= . > 0, 341 + =. > 0, 、 且 > 1/=. > 0， ， /56= . > 0， ， /( . > 0， ， /( ) )=77【注】上述性质对r、s R均适用42 指数函数1. 定义：形如y = ax(a > 0 且 a 1)的函数叫指数函数，ax前的系数为 1.2. 图像与性质两种情况0 < a < 1a > 1图像定义域：R值域：y > 0性质图像都过定点（0，1）即 x = 0，y = 1在 R 上单调递减在 R 上单调递增x < 0时，y > 1；x > 0时，0 < y < 1x < 0时，0 < y < 1；x > 0时，y > 1对称性1xy = ax与y = ./ 的图像关于 y 轴对称3.不同底：底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是a > 1还是 0 < a < 1，在第一象限内底数越大，函数图像越高。所以：a > b > 1 > c > d > 04山东春考数学于文军4.3 对数及其运算1.定义：如果a的b次幂等于N，就是=，那么数b称以a为底 N 的对数，记作log= ，其中a称对数的底，N 称真数. > 0，且 1/。以 10 为底的对数称常用对数，log10 记作lgN；以欧拉常数e( = 2.71828 )为底的对数称自然对数，log ，记作lnN；2.运算：负数和零无对数（真数 N 为正数）；log 1 = 0；log= 1；123log= , log= N； log ( ) = log+ log ；log= log log ；456log= loglog=log. > 0， 0， > 0. /log log = 1；7810log11log=log4.4 对数函数1. 定义：形如y = logax(a > 0 且 a 1)的函数称为对数函数2. 图像和性质底数0 < a <1a >1图像定义域：.0， + /值域：R性质图像都过定点（1,0），即，x=1 时，y=0在.0， + /上单调递减在.0， + /上单调递增0 < x < 1时，y > 0；x > 1时，y < 00 < x < 1时，y < 0；x > 1时，y > 0对称性函数y = log 与y = log1 的图像关于 x 轴对称y = loga|x|的图像关于 y 轴对称【注意】底数大小决定了图像相对位置的高低：不论是> 1还是0 < a < 1，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大。第五章 数列5.1 数列的概念及简单表示方法1数列的定义1按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做数列的项。其中数列的第一项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的末项。 1 = 。例： 1， 2， 3，2数列具有次序性（按程序排