2022年数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率.pdf

第十章定积分的应用3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线 C=AB. 如图所示，在 C上从 A 到 B依次取分点：A=P0,P1,P2,Pn-1,Pn=B，它们成为曲线 C的一个分割，记为T. 用线段联结 T 中每相邻两点，得到 C的 n 条弦 Pi-1Pi(i=1,2,n)， 这 n 条弦又成为 C的一条内接折线，记： T =ni1max|Pi-1Pi| ，sT=n1ii1- i|PP|，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义 1：对于曲线 C的无论怎样的分割T，如果存在有限极限：0TlimsT=s，则称曲线 C是可求长的，并把极限 s 定义为曲线 C的弧长. 定义 2： 设平面曲线 C由参数方程 x=x(t), y=y(t), t , 给出. 如果 x(t)与 y(t)在 , 上连续可微，且x (t)与 y (t)不同时为零(即 x2(t)+y2(t)0, t , )，则称 C为一条 光滑曲线 .定理： 设曲线 C由参数方程 x=x(t), y=y(t), t , 给出. 若 C为一光滑曲线，则 C是可求长的，且弧长为：s=22(t)y(t)xdt. 证： 对 C作任意分割 T=P0,P1,Pn， 并设 P0与 Pn分别对应 t=与 t= , 且 Pi(xi,yi)=(x(ti),y(ti), i=1,2,n-1. 于是，与 T对应得到区间 , 的一个分割 T ： =t0 t1t2tn-10, 存在 0，当T时，只要 i, ii，就有 | i| |y (i)-y (i)|-, i=1,2,n. |sT-n1ii2i2)(y)(xt i |=|n1iit i |n1ii|t i0) 一拱的孤长 .解：x (t)=a-acost; y (t)=asint. x2(t)+y2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t. 其弧长为 s=20222tsin4adt=4a202tsind2t=8a. 例 2：求悬链线 y=2ee-xx从 x=0 到 x=a0那一段的弧长 . 解：y =2ee-xx. 1+y2=2x-x2ee. 其弧长为 s=a0-xx2eedx=2ee-aa. 例 3：求心形线 r=a(1+cos ) (a0)的周长. 解：r ( )=-asin . r2( )+r2( )=4a2cos22. 其周长为 s=202acos2d =4a202cosd2=8a. 注：s(t)=t22(t)y(t)xdt 连续，dtds=22dtdydtdx，即有 ds=22dydx. 特别称 s(t)的微分 dx 为弧微分 . (如左下图 )PR为曲线在点 P处的切线，在 RtPQR中，PQ为 dx，QR为 dy，PR则为dx，这个三角形称为 微分三角形 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 二、曲率 ：考察右上图由参数方程x=x(t), y=y(t), t , 给出的光滑曲线 C上，PQ与QR长度相近，但弯曲程度差别较大，可见当动点沿曲线C从点 P移至 Q时，切线转过的角度比动点从 Q 移至 R时切线转过的角度要大得多. 设 (t)表示曲线在点 P(x(t),y(t)处切线的倾角， = (t+t)- (t)表示动点由 P沿曲线移至 Q(x(t+t), y(t+t)时切线倾角的增量， 若PQ之长为s，则称K=s为弧线PQ的平均曲率 . 如果存在有限极限K=slim0t=slim0s=dsd，则称此极限 K为曲线 C在点 P处的曲率. 由于假设 C为光滑曲线，所以总有 (t)=arctan(t)x(t)y或 (t)=arccot(t)y(t)x. 又若 x(t)与 y(t)二阶可导，则由弧微分可得：dsd=(t)s(t)=2322(t)y(t)x(t)y(t)x-(t)y(t)x. 曲率的公式为： K=2322)yx(yx-yx. 注：若曲线由 y=f(x)表示，则相应的曲率公式为：K=232)y(1y. 例 4：求椭圆 x=acost, y=bsint, 0 y2上曲率最大和最小的点. 解：x (t)=-asint, x” (t)=-acost；y (t)=bcost, y” (t)=-bsint. x2(t)+y2(t)=a2sin2t+b2cos2t=a2+(b2-a2)cos2t；x (t)y” (t)-x” (t)y (t)=absin2t+abcos2t=ab. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - K=2322(t)y(t)x(t)y(t)x-(t)y(t)x=232222tcos)ab(aab. 当 cos2t=0 时，K=2ab；当 cos2t=1 时，K=2ba. Kmax=max2ab,2ba；K min=min2ab,2ba. 注：1、当 a=b=R时，椭圆变成圆，则曲率K=R1. 2、直线上处处曲率为0. 定义： 设曲线 C在某一点 P处的曲率 K0. 若过 P作一个半径为 =K1的圆，使它在 P处与曲线有相同的切线， 并在点 P近旁与曲线位于切线同侧。我们把这个圆称为曲线C在点 P 处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径和圆心称为曲线C在点 P处的曲率半径 和曲率中心 。铁路弯道分析 ：火车轨道从直道进入到半径为R的圆弧形弯道时， 为了行车安全，必须经过一段缓冲轨道， 使得曲率由零连续地增加到R1，以保证火车的向心加速度(a=v2)不发生跳跃性的突变。如图，x 轴负半轴表示直线轨道，AB是半径为 R的圆弧形轨道 (点 Q 为其圆心 )，OA为缓冲轨道。 我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线y=6Rlx3. 其中 l是OA的弧长 . 它的曲率 K=23)xl(4Rxl8R42222. 当 x 从 0 变为 x0时，曲率 K从 0 连续地变为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - K0=23)xl(4Rxl8R4022022=23240202Rx4lx8lR1. 当 x0l，且Rx0很小时， K0R1. 因此由OA的曲率从 0 逐渐增加到接近于R1，从而起了缓冲作用。习题1、求下列曲线的弧长：(1)y=3x,0 x4； (2)x+y=1； (3)x=acos3t, y=asin3t(a0),0t2；(4)x=a(cost+tsint), y=a(sint-tcost)(a0), 0 t2；(5)r=asin33(a0), 0 3；(6)r=a (a0), 0 2. 解：(1)y =x23；弧长 S=40 x491dx=278(1010-1). (2)y=1-2x+x, 0 x1，y =1-x1；弧长 S=102x111dx=2101x2-x2dx=1+22ln(1+2). (3)x =-3asintcos2t, y =3acostsin2t；x2+y2=9a2(sin2tcos4t+cos2tsin4t)=9a2sin2tcos2t=49a2sin22t. 弧长 S=43a20|sin2t|d2t=6a. (4)x =a(sint+tcost-sint)=atcost, y =a(cost-cost+tsint)=atsint；x2+y2=a2t2. 弧长 S=a20tdt=22a. (5)r =asin23cos3；r2+r2=a2 sin43. 弧长 S=3a3sin302d3=23a. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (6)r =a，弧长 S=a2021d =a241+21aln(2+241). 2、求下列各曲线在指定点处的曲率：(1)xy=4, 在点(2,2)；(2)y=lnx, 在点(1,0)；(3)x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a0), 在 t=2的点；(4)x=acos3t, y=asin3t(a0), 在 t=4的点. 解：(1)y=x4, y =-2x4, y” =4xx8=3x8, K=2343x161x8. 当 x=2时，K=221=42. (2)y =x1, y” =-2x1, K=2322x11x1. 当 x=1时，K=221=-42. (3)x2t=a(1-cost)2t=a, x”2t=asint2t=a; y2t=asint2t=a, y”2t=acost2t=0；当 t=2时，K=2322)(2aa=4a2. (4)x4t=-3acos2tsint4t=-423a, x”4t=3a(2costsin2t-cos3t)4t=423a; y4t=3asin2tcost4t=423a, y”4t=3a(2sintcos2t-sint3t)4t=423a；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 当 t=4时，K=2322a49a49=3a2. 3、求 a,b 的值，使椭圆 x=acost, y=bsint的周长等于正弦曲线y=sinx在 0 x2上一段的长 . 解：当202222tcosbtsinadt=202tcos1dt 时，tcosbtsina2222=t)cosa-b(a2222=tcos12，a=1, b=2; 或 a=2, b=1. 4、设曲线由极坐标方程r=r( )给出，且二阶可导，证明它在点(r, )处的曲率为 K=232222)r(r|r r-r2r|. 证：化为参数方程： x=f( )cos , y=f( )sin , 则x =f ( )cos -f( )sin , x” =f” ( )cos - f ( )sin -f ( )sin - f( )cos =f” ( )-f( )cos -2f ( )sin . y =f ( )sin +f( )cos =f ( )sin +f( )cos , y” =f” ( )sin + f ( )cos +f ( )cos -f( )sin =f” ( )-f( )sin +2f ( )cos . x2+y2=f ( )cos -f( )sin 2+f ( )sin +f( )cos 2 =f2( )-2f ( )cos f( )sin +2f ( )sin f( )cos +f2( )=r2+r2. x y” =f ( )cos -f( )sin f ” ( )-f( )sin +2f ( )cos =f ( )f” ( )sin cos -3f( )f ( )sin cos +2r2cos2 -rr” sin2 +r2sin2 ;x” y =f” ( )-f( )cos -2f ( )sin f ( )sin +f( )cos 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - =f ( )f” ( )sin cos +rr” cos2 -3f( )f ( )sin cos -r2cos2 -2r2sin2 .x y” -x” y =r2+2r2-rr” . K=2322)yx(yx-yx=232222)r(r|r r-r2r|. 5、用上题公式，求心形线r=a(1+cos )(a0)在 =0 处的曲率、曲率半径和曲率圆 . 解：r0=2a, r0=0, r”0=-a, K0=232222)r(r|r r-r2r|0=2322)(4a6a=4a3. 曲率半径： R0=0=K1=34a. 曲率圆圆心在 x 轴上，曲率圆为： (x-32a)2+y2=916a2. 6、证明抛物线 y=ax2+bx+c在顶点处的曲率最大 . 证：该抛物线的曲率为： K=232b)ax2(12a. 当 2ax+b=0 ，即 x=-a2b时，曲率最大 . 得证.7、求 y=ex上曲率最大的点 . 解：K=232xx)e(1e=232xx)e(1e. 当 K =32x212x3x232xx)e(1)e(13e-)e(1e=0 时，x=-2ln. 又当 x0; 当 x-2ln时，K 0；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - y=ex在(-2ln,22)处曲率最大 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -