2022年数学必修5期末测试2.pdf
模块综合测评 (二) (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) (时间 120 分钟，满分150 分) 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1在 ABC 中，a5，b15，A30 ，则 c 等于 () A2 5B.5 C25或5 D3 5 解析：由余弦定理： cos Ab2c2a22bc，3215c25215c，即 c23 5c100， c5或 25，经检验， a，b，c 能构成三角形故选C. 答案：C 2当 0ab(1a)bB(1a)a(1b)bC(1a)b(1a)b2D(1a)a(1b)b解析：特值法取a14， b12，则(1a)1b 1142342916. (1a)b 1141232. (1a)1b(1a)b.故排除A. 同理可排除B，C. 答案：D 3已知点 (3,1)和( 4,6)在直线 3x2ya0 的两侧，则a 的取值范围是() Aa24 Ba 7 或 a 24 C 7a24 D 24a7 解析：(3321a) (3426a)0? 7a12 A30 ，则 BB， ab答案：A 8设变量 x，y满足约束条件x0，xy0，2xy20，则 z3x2y 的最大值为 () A0 B2 C4 D6 解析：作出可行域如图所示目标函数 y32x12z易知过 A(0， 2)时 zmax4 答案：C 9函数 f(x)1xln(x23x2x23x4)的定义域为 () A(， 42， ) B(4,0)(0,1) C4,0)(0,1 D4,0)(0,1) 解析：由已知得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - x23x20，x23x40，x23x2x23x40，x0.?x1或x2，4x1，x23x2x2 3x40，x0.? x 4,0) (0,1)答案：D 10已知 x52，则 f(x)x24x52x4有() A最小值54B最大值54C最小值 1 D最大值1 解析：f(x)x2212 x2x2212 x2. x52，x20， f(x)2141. 当且仅当x2212 x2，即 x3 时，取等号答案：C 11已知 an 是首项为 1 的等比数列， Sn是an 的前 n 项和，且 9S3S6.则数列1an的前5 项和为 () A.158或 5 B.3116或 5 C.3116D.158解析：9S3S6而 S6S3a4a5a6精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 8(a1a2a3)a4a5a6即 q38 q2 数列1an是以 1 为首项，12为公比的等比数列S5111251123116. 答案：C 12 已知各项均为正数的等差数列an的前 20 项和为 100， 那么 a3 a18的最大值是 () A50 B25 C100 D2 20 解 析 ：由 题 可 知S2020 a1a20220 a3a182 100， 所 以a3 a18 10， 故a3 a18a3a182225.故选 B. 答案：B 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上) 13在 ABC 中，已知 a4，b6，C120 ，则 sin A 的值是 _解析：根据余弦定理c2a2b22abcos C42622 46cos120 76.所以c219，根据正弦定理，得sin Aasin Cc4sin 1202195719. 答案：571914设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 S3 3，S624，则 a9_. 解析：由S33S624知3a13 312d36a16 612d24即a1d12a15d8，a1 1d2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - a918215 答案：15 15某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站_处解析：由已知得 y120 x，y20.8x(x 为仓库与车站的距离)费用之和 yy1y20.8x20 x20.8x20 x8， 当且仅当 0.8x20 x即 x 5时等号成立答案：5 km 16已知关于 x的不等式 (a24)x2(a2)x10 的解集为空集， 则实数 a 的取值范围是_解析：当 a2 时，原不等式可化为0 x20 x 10，解集为空集，符合题意当 a2 时，原不等式可化为0.x24x10，解集不能为空集当a240 a224 a24 0，不等式的解集为空集 2a65综上 2a65. 答案：2，65三、解答题 (本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分12 分)在ABC 中， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边，且2sin A3cos A. (1)若 a2c2b2mbc，求实数 m 的值；(2)若 a3，求 ABC 面积的最大值解析：(1)将2sin A3cos A两边平方，得2sin2A3cos A，即(2cos A1)(cos A2)0.解得 cos A120， 0A2， A60 . a2c2b2mbc 可以变形得b2c2a22bcm2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 即 cos Am212， m1. (2) cos Ab2c2a22bc12， bcb2c2a22bca2，即 bca2. 故 SABCbc2sin Aa22323 34. ABC 面积的最大值为343. 18(本小题满分12 分)数列 an 中，a113，前 n 项和 Sn满足 Sn1Sn13n1(nN*)(1)求数列 an的通项公式an以及前 n 项和 Sn；(2)若 S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差数列，求实数t 的值解析：(1)由 Sn1Sn13n1得an113n1(n N*)；又 a113，故 an13n(n N*)从而， Sn13113n11312113n(n N*)(2)由(1)可得 S113，S249， S31327. 从而由 S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差数列可得：13349132721349t，解得 t2. 19(本小题满分12 分)已知全集UR，集合 Ax|x2 (a1)xa0 ，B x|(xa)(xb)0(ab) ，M x|x22x30 (1)若?UBM，求 a，b 的值；(2)若 1ba1，求 AB；(3)若 3a0 ，?UBx|(xa)(xb)0，M x|(x1)(x3) 0(1)若?UBM，则 (xa)(xb)(x1)(x3)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 所以 a1，b3，或 a 3，b1. (2)若 1ba1，则 1ab1，所以 Ax|x1 ，B x|xb故 ABx|x a 或 x1(3)若 3a1，则 1a3，所以 Ax|xa，?UAx|1xa又由a21 ?UA，得 1a21a，即a220a2a10，解得152a2. 20(本小题满分12 分)某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大客房每间面积为18 m2，可住游客5 名，每名游客每天住宿费为40 元；小房间每间 15 m2，可住游客3 名，每名游客每天住宿费为50 元；装修大房间每间需1 000 元，装修小房间每间需600 元如果他只能筹款8 000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解析：设隔出大房间x 间，小房间y 间，获得收益为z 元，则18x 15y180，1 000 x600y8 000，x0，y0，且 x，y N即6x5y60，5x3y40，x0，y0，且 x， y N. 目标函数为z200 x150y 画出可行域如图阴影部分所示作出直线 l： 200 x150y0， 即直线 4x3y0.当 l 经过平移过可行域上的点A207，607时， z有最大值，由于A 的坐标不是整数，而x，y N，所以 A 不是最优解调整最优解：由 x，y N，知 z4x3y37，令 4x3y37，即 y374x3，代入约束条件，可解得52x3. 由于 x N，得 x3，但此时y253?N. 再次调整最优解：令 4x3y36，即 y364x3，代入约束条件，可解得 0 x4(x N)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 当 x0 时， y12；当 x1 时， y1023；当 x2 时， y913；当 x3 时， y8；当 x4 时， y623. 所以最优解为 (0,12)和(3,8)，这时 zmax36， zmax 1 800. 所以应隔出小房间12 间或大房间 3 间、小房间8 间，可以获得最大收益21(本小题满分12 分)森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火 5 分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125 元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100 元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60 元，设消防队派 x 名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用n 分钟(1)求出 x 与 n 的关系式；(2)求 x 为何值时，才能使总损失最少解析：(1)由已知可得50nx100(n5)，所以 n10 x2(x2)(2)设总损失为y 元，则 y6 000(n5)100 x125nx6 00010 x25100 x1 250 xx262 500 x2100(x2)31 450 2 6250 00031 45036 450，当且仅当62 500 x2100(x2)，即 x27 时，y 取最小值答：需派 27 名消防员，才能使总损失最小，最小值为36 450 元22(本小题满分14 分)已知等差数列 an满足： a37，a5a726. an的前 n 项和为Sn. (1)求 an及 Sn；(2)令 bn1an21(nN*)，求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 解析：(1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a5a726，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 所以 a12d7,2a110d26，解得 a13，d2. 由于 ana1(n1)d，Snn a1an2，所以 an2n1，Snn(n2)(2)因为 an2n1，所以 an214n(n1)，因此 bn14n n1141n1n1. 故 Tnb1b2bn1411212131n1n11411n1n4 n1所以数列 bn的前 n 项和 Tnn4 n1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -
