2022年数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案.pdf
数学物理方程模拟试题一、填空题（ 3 分 10=30 分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（） ，说明边界上的约束情况的条件叫（） ，二者统称为（）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是： （） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件funuS)(是第（）类边界条件，其中S为边界. 5.设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tU，则方程22222xuatu的傅立叶变换为 （） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有)(0 xJdxd（） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(31)(3202xPxP= （）. 8.计算积分dxxP2112)(（） . 9.勒让德多项式)(1xP的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30 分） ：1.30, 0,3,000, 30 ,200322222, 0 xtuxxtxxututtxuuu精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2.xtxxutuuuutxx2,0, 00,40,040223. 20, 0, 8,00, 20,162002022222xtutxxututtxxuuu三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分）0,2sin0,cos0022222tttuxutxxxuatu四、用积分变换法求解下列定解问题（10 分） ：, 1, 10, 0, 1002yxuyuyxyxu五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10 分） ：)(1)()(0 02xJxxJxJ六 、 在 半 径 为1 的 球 内 求 调 和 函 数u， 使 它 在 球 面 上满 足21cosru，即所提问题归结为以下定解问题（10 分）: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - .0, 12cos3,0, 10,0)(sinsin1)(11222rururrurrr(本题的u只与, r有关，与无关) 数学物理方程模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件，边值条件，定解条件. 2.)(2222222zuyuxuatu3.01)(1222uu. 4. 三. 5.UadtUd2222. 6.)(1xJ. 7.2x. 8.52. 9.)1(212xdxd. 10.2020)()(1lnyyxxu. 二、试用分离变量法求以下定解问题1.解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(2 tTatT，0)()( xXxX，由边界条件得到0)3()0(XX，对的 情 况讨论 ， 只 有当0时才 有 非 零解， 令2，得 到22223n为特征值，特征函数3sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到32sin32cos)(;tnDtnCtTnnn，于是,3sin)32sin32cos(),(1xntnDtnCtxunnn再 由 初 始 条 件 得 到精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 0,) 1(183sin332130nnnDnxdxnxC， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为,3sin)32cos) 1(18(),(11xntnntxunn2. 解 令)()(),(tTxXtxu，代入原方程中得到两个常微分方程：0)()(tTtT，0)()( xXxX，由边界条件得到0)4()0(XX，对的情况讨论，只有当0时才有非零解，令2， 得到22224n为特征值，特征函数4sin)(nBxXnn，再解)(tT，得到16;22)(tnnneCtT，于是,4sin(),(16122xneCtxutnnn再由初始条件得到140)1(164sin242nnnxdxnxC， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为,4sin)1(16),(161122xnentxutnnn3.解 由于边界条件和自由项均与t 无关，令)(),(),(xwtxvtxu，代入原 方 程 中 ， 将 方 程 与 边 界 条 件 同 时 齐 次 化 。 因 此212 22222)(16)(416)(4cxcxxwxwxwxvtv，再由边界条件有8)2(,0)0(ww，于是0, 821cc，xxxw82)(2.再求定解问题20, 0),(,000,20,200322222, 0 xtvxwxtxxvtvttxvvv用分离变量法求以上定解问题的解为,2sincos)1)1(32)1(16(),(331xntnnntxvnnn故,2sincos)1) 1(32)1(16(28),(3312xntnnnxxtxunnn三. 解：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 令)(),(),(xwtxvtxu， 代 入 原 方 程 中 ， 将 方 程 齐 次 化 ， 因 此xaxwxxwaxxwxvatvcos1)(0cos)(cos)(2 2 22222， 再求定解问题,0),(cos12sin0,02022222tttvxxwaxtxvatvv由达朗贝尔公式得到以上问题的解为atxaatxatxaatxataaatxtxvcoscos1cossin0)cos(1)(2sin)cos(1)(2sin21),(222故.cos1coscos1cossin),(22xaatxaatxtxu四. 解 ：对 y 取拉普拉斯变换),(),(pxUyxuL，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到ppUpdxdUpx11,120，解这个微分方程得到ppxppxU111),(22，再取拉普拉斯逆变换有1),(yyxyxu所以原问题的解为1),(yyxyxu. 五. 证明：由公式)()(1xJxxJxdxdnnnn有)()()(1xJxxnJxxJnnn，令1n有)()()(211xxJxJxxJ，所以)(1)()(112xJxxJxJ，又)()(),()(10 10 xJxJxJxJ，所以)(1)()(00 2xJxxJxJ. 六解：由分离变量法，令)()(),(rRru， 得到0)(cos),(nnnnPrCru，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 由 边 界 条 件 有01)(cos12cos3nnnrPCu， 令xc o s，)()()(261)12(322110022xPcxPcxPcxx，) 13(212622102xcxccx，4,0,0210ccc，故222222cos6) 1cos3(214),(rrrru精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -
