2022年数学理高考真题分类汇编专题立体几何.pdf

立体几何1.【2016 高考新课标1 卷】如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是（）（A）17（B）18（C）20（D）28【答案】 A 【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428VR833,解得R2,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42 +32 =1784S故选 A考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 2. 【2016 高考新课标 2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - - （A）20（B）24（C）28（D）32【答案】 C 考点：三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:3.【2016 年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 【答案】 A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥PABC，其体积1 111 1 13 26V，故选 A. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体体积计算. 【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱. 4. 【 2016 高考新课标3 理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）1836 5（B）54185（ C）90（D）81 【答案】 B 【解析】试 题 分 析 ： 由 三 视 图 该 几 何 体 是 以 侧 视 图 为 底 面 的 斜 四 棱 柱 ， 所 以 该 几 何 体 的 表 面 积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 2362 332 33 55418 5S，故选 B考点：空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解5.【2016 高考山东理数】 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233（B）1233（C）1236（D）216【答案】 C 考点： 1.三视图； 2.几何体的体积 .【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 6.【2016 高考浙江理数】已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线 m，n 满足,mn ，则（）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】 C 【解析】试题分析：由题意知, ll，,nnl故选 C 考点：空间点、线、面的位置关系【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系7.【2016 年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是. 正视图331【答案】33考点：三视图，几何体的体积. 【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图8.【 2016 高考浙江理数】 某几何体的三视图如图所示（单位： cm） ，则该几何体的表面积是cm2，体积是 cm3. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 【答案】72 32【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2 的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72考点： 1、三视图； 2、空间几何体的表面积与体积【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积9. 【 2016 高考新课标2 理数】,是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,/ /mn mn，那么. （2）如果,/ /mn，那么mn.（3）如果/ /,m，那么/ /m.（4）如果/ / ,/ /mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 ( 填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】试题分析：对于，, /mn mn，则,的位置关系无法确定，故错误；对于, 因为/n，所以过直线n作平面与平面相交于直线c，则/nc，因为,mmcmn，故正确； 对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 考点：空间中的线面关系. 【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系. 10.【2016 高考浙江理数】如图，在ABC 中， AB=BC=2， ABC=120.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC上的点 D，满足 PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是. 【答案】12故22 34BDxx. 在PBD中，PDADx，2PBBA. 由余弦定理可得2222222(2 34)3cos2222PDPBBDxxxBPDPD PBx，所以30BPD. EDCBAP过P作直线BD的垂线，垂足为O.设POd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 则11sin22PBDSBDdPD PBBPD，即2112 342sin 3022xxdx，解得22 34xdxx. 而BCD的面积111sin(23) 2sin 30(23)222SCD BCBCDxx. 设PO与平面ABC所成角为，则点P到平面ABC的距离sinhd. 故四面体PBCD的体积211111sin(2 3)333322 34BcDBcDBcDxVShSdSdxxx21(23)62 34xxxx. 设222 34(3)1txxx，因为02 3x，所以12t. 则2|3 |1xt. （1）当03x时，有2|3 |31xxt，故231xt. 此时，221 (31)23(31)6ttVt21 41 4()66tttt. 214( )(1)6Vtt，因为12t，所以( )0Vt，函数( )V t在1,2上单调递减，故1 41( )(1)(1)6 12V tV. （2）当32 3x时，有2|3 |31xxt，故231xt. 此时，221 (31)23(31)6ttVt21 41 4()66tttt. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 由（ 1）可知，函数( )V t在(1,2单调递减，故1 41( )(1)(1)6 12V tV. 综上，四面体PBCD的体积的最大值为12. 考点： 1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值11.【 2016 高考新课标1 卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,平面ABCD =m,平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)13【答案】 A 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补. 12. 【2016 高考新课标3 理数】在封闭的直三棱柱111ABCA B C内有一个体积为V的球，若ABBC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4 （ B）92（C）6 （ D ）323【答案】 B 【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439( )3322R，故选 B考点： 1、三棱柱的内切球；2、球的体积【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解13. 【2016 高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积为_m3. 【答案】 2考点：三视图【名师点睛】 1. 解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据14.【2016 高考新课标1卷】 （本小题满分为12 分）如图 ,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形 ,AF=2FD,90AFD,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - - （I）证明：平面ABEF平面 EFDC ；（II）求二面角E-BC-A 的余弦值【答案】（I）见解析（ II）2 1919【解析】试题分析： （I）先证明F平面FDC,结合F平面F,可得平面F平面FDC （ II）建立空间坐标系,分别求出平面C的法向量m及平面C的法向量n,再利用cos,n mn mn m求二面角. 由已知 ,/ F,所以/平面FDC又平面CD平面FDCDC,故/CD,CD/F由/F,可得平面FDC,所以C F为二面角CF的平面角 , C F60从而可得C2,0,3所以C1,0,3,0,4,0,C3, 4,3,4,0,0设, ,nx y z是平面C的法向量 ,则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - - - C00nn,即3040 xzy, 所以可取3,0,3n设m是平面CD的法向量 ,则C00mm, 同理可取0,3,4m则2 19cos,19n mn mn m故二面角C的余弦值为2 1919考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主 .第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决. 15. 【2016 高考新课标2 理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，54AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD（）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值【答案】（）详见解析； （）2 9525. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 【解析】试题分析：（）证/ /ACEF，再证D HOH，最后证D HABCD平面； （）用向量法求解. 又D HEF，而OHEFH，所以D HABCD平面. ABCDDEHOzxyF（II ）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则0,0,0H，3, 2,0A，0, 5,0B，3, 1,0C，0,0,3D，(3, 4,0)AB，6,0,0AC，3,1,3AD. 设111,mx y z是平面ABD的法向量，则00m ABm AD，即11111340330 xyxyz，所以可以取4,3, 5m. 设222,nxyz是平面ACD的法向量，则00n ACn AD，即222260330 xxyz，所以可以取0, 3,1n. 于是147 5cos,25| |5010m nm nmn，2 95sin,25m n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 因此二面角BD AC的正弦值是2 9525. 考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，a ? b ； ，a ? a ；面面垂直的性质线面垂直的性质，常用来证明线线垂直求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角16.【2016 高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径， EF 是上底面圆O的直径， FB是圆台的一条母线. （I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（II）已知 EF=FB=12AC= 2 3，AB=BC.求二面角FBCA的余弦值 . 【答案】（）见解析； （）77【解析】试题分析：（）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面 ABC 平行； （）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM为二面角FBCA的平面角直接求解. 试题解析：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - - （II ）解法一：连接OO, 则OO平面ABC，又,ABBC且AC是圆O的直径，所以.BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意得(0, 2 3,0)B，( 2 3,0,0)C，过点F作FMOB垂直于点M，所以223,FMFBBM可得(0,3,3)F故( 2 3, 2 3,0),(0,3,3)BCBF. 设( , , )mx y z是平面BCF的一个法向量 . 由0,0m BCm BF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 可得2 32 30,330 xyyz可得平面BCF的一个法向量3( 1,1,),3m因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n所以7cos,7|m nm nmn. 所以二面角FBCA的余弦值为77.解法二：连接OO，过点F作FMOB于点M，则有/ /FMOO, 又OO平面ABC，所以 FM 平面 ABC,可得223,FMFBBM过点M作MNBC垂直于点N，连接FN，可得FNBC, 从而FNM为二面角FBCA的平面角 . 又ABBC,AC是圆O的直径，所以6sin45,2MNBM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 从而422FN，可得7cos.7FNM所以二面角FBCA的余弦值为77.考点： 1. 平行关系； 2.异面直线所成角的计算. 【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等. 17.【2016 高考江苏卷】 (本小题满分14 分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点， 点 F 在侧棱 B1B 上，且11B DA F，1111ACA B. 求证： （ 1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. 【答案】（1）详见解析（ 2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性质（ 2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质与判定定理, 如将线线垂直1111ACA B先转化到线面垂直11AC平面11ABB A，从而得到线线垂直111ACB D，再结合11B DAF，转化到线面垂直111C FB DA平面试题解析：证明： （1）在直三棱柱111ABCA B C中，11/ /ACAC在三角形 ABC 中，因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 所以/ /DEAC，于是11/ /DEAC又因为 DE平面1111,AC F AC平面11AC F所以直线 DE/平面11AC F（2）在直三棱柱111ABCA B C中，1111AA平面A B C因为11AC平面111A B C，所以11 1AAAC又因为111111111111111,ACA BAAABB A A BABB A A BAAA，平面平面所以11AC平面11ABB A因为1B D平面11ABB A，所以111ACB D又因为1111111111111C F,C F,B DAACAA FAACA FAF，平面平面所以111C FB DA平面因为直线11B DB DE平面，所以1B DE平面11.AC F平面考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. (4) 证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.18. 【2016 高考天津理数】 （本小题满分13 分）如图，正方形ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2. （I）求证： EG平面 ADF；（II）求二面角O-EF-C 的正弦值；（III ）设 H 为线段 AF 上的点，且AH=23HF ，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 【答案】（）详见解析（）33（）721【解析】试题解析： 依题意，OFABCD平面，如图，以O为点， 分别以,AD BA OF的方向为x轴，y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O，1,1,0 , ( 1, 1,0),(1 , 1,0),(11,0),( 1, 1,2),(0,0,2),( 1,0,0)ABCDEFG，. （I） 证明：依题意，(2,0,0),1, 1,2ADAF.设1, ,nx y z为平面ADF的法向量， 则1100nADnAF，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 即2020 xxyz.不妨设1z，可得10,2,1n，又0,1, 2EG，可得10EG n，又因为直线EGADF平面，所以/ /EGADF平面. （ II ）解：易证，1,1,0OA为平面OEF的一个法向量.依题意，1,1,0 ,1,1,2EFCF.设2, ,nx y z为 平 面CEF的 法 向 量 ， 则2200nEFnCF， 即020 xyxyz.不 妨 设1x， 可 得21, 1,1n. 因此有2226cos,3OA nOA nOAn，于是23sin,3OA n，所以，二面角OEFC的正弦值为33. （III ）解：由23AHHF，得25AHAF.因为1, 1,2AF，所以222 4,555 5AHAF，进而有3 3 4,5 5 5H，从而2 8 4,5 5 5BH，因此2227cos,21BHnBH nBHn.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721.考点：利用空间向量解决立体几何问题19.【2016 年高考北京理数】 （本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 32 页 - - - - - - - - - - （1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/ /BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）33； （3）存在，14AMAP试题解析：（1）因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以PDAB，又因为PDPA，所以PD平面PAB；（2）取AD的中点O，连结PO，CO，因为PAPD，所以ADPO. 又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD. 因为CO平面ABCD，所以POCO. 因为CDAC，所以ADCO. 如图建立空间直角坐标系xyzO，由题意得，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 32 页 - - - - - - - - - - ) 1 ,0 ,0(),0 , 1,0(),0 ,0, 2(),0, 1 , 1 (),0, 1 ,0(PDCBA. 设平面PCD的法向量为),(zyxn，则, 0, 0PCnPDn即,02, 0zxzy令2z，则2, 1 yx. 所以)2, 2, 1 (n. 又)1, 1 , 1 (PB，所以33,cosPBnPBnPBn. 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33. （3）设M是棱PA上一点，则存在 1 , 0使得APAM. 因此点), 1(),1 , 0(BMM. 因为BM平面PCD，所以BM平面PCD当且仅当0nBM，即0)2, 2, 1 (), 1(，解得41. 所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时41APAM. 考点： 1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造 (寻找 )二面角的平面角或得到点到面的距离等. 20. 【 2016 高 考 新 课 标3 理 数 】 如 图 ， 四 棱 锥PABC中 ，PA地 面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点（I ）证明MN平面PAB；（II ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【答案】（）见解析； （）8 525【解析】试题分析： （）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以A为坐标原点，以,AD AP所在直线分别为, y z轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN的方向向量与平面PMN法向量的夹角来处理AN与平面PMN所成角试题解析： （）由已知得232ADAM， 取BP的中点T， 连接TNAT,， 由N为PC中点知BCTN /，221BCTN. 又BCAD /，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN /. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB. （）取BC的中点E，连结AE，由ACAB得BCAE，从而ADAE，且5)2(2222BCABBEABAE. 以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 由题意知，)4, 0, 0(P，)0 ,2, 0(M，)0,2,5(C，)2,1 ,25(N，(0, 2, 4)PM，)2, 1 ,25(PN，)2, 1 ,25(AN. 设( , , )nx y z为平面PMN的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取(0, 2,1)n，于是|8 5|cos,|25|n ANn ANnAN. 考点： 1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理21.【2016 高考浙江理数】(本题满分 15 分)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求证： EF平面 ACFD ；(II) 求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 【答案】（I）证明见解析； （ II）34【解析】试题分析：（I）先证FC，再证FC，进而可证F平面CFD； （II）方法一：先找二面角精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 32 页 - - - - - - - - - - DF的平面角，再在RtQF中计算，即可得二面角DF的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C和平面的法向量，进而可得二面角DF的平面角的余弦值所以F平面CFD（II）方法一：过点F作FQ，连结Q因为F平面C，所以F，则平面QF，所以Q所以，QF是二面角DF的平面角在RtC中，C3，C2，得3 13FQ13在RtQF中，3 13FQ13，F3，得3cosQF4所以，二面角DF的平面角的余弦值为34方法二：如图，延长D，CF相交于一点，则C为等边三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 取C的中点，则C，又平面CF平面C，所以，平面C以点为原点，分别以射线，的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系xyz由题意得1,0,0，C1,0,0，0,0,3，1, 3,0，13,0,22，13F,0,22因此，C0,3,0，1,3,3，2,3,0设平面C的法向量为111,mx y z，平面的法向量为222,nxyz由C00mm，得111130330yxyz，取3,0,1m；由00nn，得22222230330 xyxyz，取3, 2,3n于是，3cos,4m nm nmn所以，二面角DF的平面角的余弦值为34考点： 1、线面垂直； 2、二面角【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线22.【2016 年高考四川理数】 （本小题满分12 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 如图，在四棱锥P-ABCD 中， AD BC，ADC=PAB=90 ， BC=CD=12AD，E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为90. （）在平面PAB内找一点 M，使得直线CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A 的大小为 45，求直线PA与平面 PCE所成角的正弦值. EDCBPA【答案】（）详见解析； （）13. 【解析】试题解析：（）在梯形ABCD 中，AB 与 CD 不平行 . 延长 AB，DC，相交于点M（M平面 PAB） ，点 M 即为所求的一个点.理由如下：由已知， BCED，且 BC=ED. 所以四边形BCDE 是平行四边形 .，所以 CDEB从而 CMEB. 又 EB平面 PBE，CM平面 PBE，所以 CM平面 PBE. （说明：延长AP 至点 N，使得 AP=PN，则所找的点可以是直线MN 上任意一点）（）方法一：由已知， CDPA，CDAD ，PAAD=A ，所以 CD平面 PAD. 从而 CDPD. 所以 PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 所以 PDA=45 . 设 BC=1 ，则在 RtPAD 中，PA=AD=2. 过点 A 作 AH CE，交 CE 的延长线于点H，连接 PH. 易知 PA平面 ABCD ，从而 PACE. 于是 CE平面 PAH. 所以平面 PCE平面 PAH. 过 A 作 AQ PH 于 Q，则 AQ平面 PCE. 所以 APH 是 PA与平面 PCE 所成的角 . 在 RtAEH 中， AEH=45 ， AE=1，所以 AH=22. 在 RtPAH 中，PH=22PAAH=3 22，所以 sinAPH=AHPH=13. 方法二：由已知， CDPA，CDAD ，PAAD=A ，所以 CD平面 PAD. 于是 CDPD. 从而 PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角 . 所以 PDA=45 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 由 PAAB，可得 PA平面 ABCD. 设 BC=1 ，则在 RtPAD 中，PA=AD=2. 作 AyAD ，以 A 为原点， 以AD,AP的方向分别为x 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则 A（0,0,0） ，P（0,0,2） ，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2） ，EC=（1,1,0） ，AP=（0,0,2）设平面 PCE 的法向量为n=(x,y,z) ，由0,0,PEECnn得20,0,xzxy设 x=2，解得 n=(2,-2,1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为，则sin=| |n APnAP=22221322( 2)1. 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为13. zyxMEDCBPA考点：线线平行、线面平行、向量法. 【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力 .证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可23. 【2016 高考上海理数】将边长为1 的正方形11AAO O（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 32 页 - - - - - - - - - - AC长为23，11AB长为3，其中1B与C在平面11AAO O的同侧。（1）求三棱锥111CO A B的体积；学优高考网（2）求异面直线1B C与1AA所成的角的大小。【答案】（1）312 （2）4试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h，底面半径1r由11的长为3，可知111311