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初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题: 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数， 右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： 2axy；kaxy2； 2hxay； khxay2； cbxaxy2. 二次函数解析式的表示方法一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a） ；顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a） ；两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2yaxbxc图象的画法五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数2yaxbxc化 为 顶 点 式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 二次函数2axy的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 二次函数2yaxc的性质二次函数2ya xh的性质：二次函数2ya xhk的性质0a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa. 特别地，y轴记作直线0 x. 顶点坐标：），（abacab4422顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数 a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线cbxaxy2中，cba,与函数图像的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法公 式 法 ：abacabxacbxaxy442222， 顶 点 是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 配方法： 运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是直线hx. 运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点， 再用公式法或对称性进行验证， 才能做到万无一失 . 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式 . 顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：21xxxxay. 直线与抛物线的交点y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). 抛物线与 x轴的交点 : 二次函数cbxaxy2的图像与 x轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . 抛物线与 x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与 x轴相切；没有交点0抛物线与 x轴相离 . 平行于 x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点 . 当有 2 个交点时， 两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . 抛物线与 x轴两交点之间的距离： 若抛物线cbxaxy2与 x轴两交点为0021，xBxA，由于1x 、2x 是方程02cbxax的两个根，故精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称2ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于顶点对称2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于点mn，对称2ya xhk关 于 点mn，对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是222ya xhmnk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变， 将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移 ” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。三点式。1，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3 ，0） ，B（32，0） ，C（0，-3 ）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=a(x-1)+4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式。顶点式。1，已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1） ，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（ 3，1） ，求抛物线的解析式。交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（ 3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（ 4，0） ， （1，0）求抛物线 y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。定点式。1， 在直角坐标系中， 不论 a 取何值，抛物线2225212axaxy经过 x 轴上一定点 Q ，直线2)2(xay经过点 Q,求抛物线的解析式。2，抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4 ，求抛物线的解析式。3，抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点 A，求抛物线的解析式。平移式。1，把抛物线 y= -2x2向左平移 2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k, 求此抛物线解析式。2，抛物线32xxy向上平移 , 使抛物线经过点 C(0,2), 求抛物线的解析式 . 距离式。1，抛物线 y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m 0)与 x 轴交于 A、B两点，与轴交于 C点，且 AB=BC, 求此抛物线的解析式。对称轴式。1、抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A在点 B左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA=43OC ，求此抛物线的解析式。对称式。1，平行四边形 ABCD 对角线 AC在 x 轴上，且 A（-10，0） ，AC=16 ，D（2，6） 。AD交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B到 B1的位置，求经过 A,B,E三点的抛物线的解析式。2，求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 切点式。1，已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2有唯一公共点， 求抛物线的解析式。2， 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2+k 的唯一公共点 A （2，1）, 求抛物线的解析式。判别式式。1、已知关于 X的一元二次方程（ m+1 ）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。2、已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式。3、已知抛物线 y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。二次函数测试题一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1. 抛物线2(1)3yx的对称轴是（）（A）直线1x（B）直线3x（C）直线1x（D）直线3x2对于抛物线21(5)33yx，下列说法正确的是（）（A）开口向下，顶点坐标(5 3)，（B）开口向上，顶点坐标(5 3)，（C）开口向下，顶点坐标( 5 3)，（D）开口向上，顶点坐标( 5 3)，3. 若A（1,413y ） ，B（2,45y ） ，C（3,41y ）为二次函数245yxx的图象上的三点，则1,y2,y3y的大小关系是 ( ) （A）123yyy（B）213yyy（C）312yyy（D）132yyy4. 二次函数362xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ( ) （A）3k（B）03kk且（C）3k（D）03kk且5抛物线23yx向右平移 1 个单位，再向下平移2 个单位，所得到的抛物线是( ) （A）23(1)2yx（B）23(1)2yx（C）23(1)2yx（D）23(1)2yx6 烟花厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 飞行时间(s)t的关系式是252012htt，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）（A）3s（B）4s（C）5s（D）6s7. 如图所示是二次函数2122yx的图象在x轴上方的一部分，对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（）（A）4 （B）163（C）2（D）88. 如图， 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源， 现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分） 铁皮备用， 当截取的矩形面积最大时，矩形两边长xy，应分别为（）（A）1014xy，（B）1410 xy，（C）1215xy，（D）1512xy，9如图，当ab 0 时，函数2axy与函数abxy的图象大致是（）10. 二次函数 y=ax2+bx+c(a 0) 的图像如图所示, 下列结论正确的是( ) （A）ac0 （B）当 x=1 时,y 0 （C）方程 ax2+bx+c=0(a 0)有两个大于1 的实数根（D）存在一个大于1 的实数 x0, 使得当 xx0时,y 随 x 的增大而减小 ; 当 x x0时,y 随 x 的增大而增大 . 二、填空题（每小题3 分，共 18 分）10. 平 移 抛 物 线228yxx， 使 它 经 过 原 点 ， 写 出 平 移 后 抛 物 线 的 一 个 解 析x y yx24 8 20 O 1 x y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 式 . 11. 抛物线42)2(22mxxmy的图象经过原点，则m . 12.将(21)(2)1yxx化成()ya xmn的形式为 . 13. 某商店经营一种水产品，成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10 千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为元时，获得的利润最多. 14. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点()P abc，在第象限15. 已知二次函数22yxxm的部分图象如右图所示，则关于x的一元二次方程220 xxm的解为16老师给出一个二次函数, 甲, 乙 , 丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x2 时，y随x的增大而减小. 丙：函数的图像与 坐标轴只有两个交点 . 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数_. 三、解答题（第17 小题 6 分，第 18、19 小题各 7 分，共 20 分） ）17. 已知一抛物线与x轴的交点是)0,2(A、B（1， 0） ，且经过点 C（2，8） 。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。18. 已知抛物线cxxy22的部分图象如图所示. x y O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （1）求 c 的取值范围；（2）若抛物线经过点) 1, 0(，试确定抛物线cxxy22的解析式；19二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围 . 四、 （第小题8 分，共 16 分）20. 小李想用篱笆围成一个周长为60 米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长 x（单位：米）的变化而变化（1）求 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？xy3322114112O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 21某商场将进价为30 元的书包以40 元售出，平均每月能售出600 个，调查表明：这种书包的售价每上涨1 元，其销售量就减少10 个。（1）请写出每月售出书包的利润y 元与每个书包涨价x 元间的函数关系式；（2）设每月的利润为10000 的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由； 如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元。（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润。五、 （第 22 小题 8 分，第 23 小题 9 分，共 17 分）22. 如图，已知二次函数cxaxy42的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点 D均在该函数图像上 （其中m0） ，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点 D到x轴的距离23. 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是A D E y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高4.5m，宽 2.4m，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有 0.4m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？六、 （第 24 小题 9 分，第 25 小题 10 分，共 19 分）24如图，抛物线223yxx与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D. （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点， 过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式 . 25 如图，在平面直角坐标系中，点AC、的坐标分别为( 10) (03)，、，点B在x轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线1x，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于x y D C A O B （第 24 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 点F（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长（3）求PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标x y B F O A C P x=1（第 25 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -