高等数学-一-微积分-考试必过归纳总结-要点重点(共34页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数）第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。3、求反函数。4、求复合函数的表达式。二、 极限与连续 常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。3、函数的连续与间断。4、求函数的渐进线。5、级数的性质及等比级数。6、零点定理。每年必有的考点第三部分 导数微分及其应用 常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。 每年必有的考点第四部分 积分计算及应用 考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多， 而且也有一定的难度。第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。3、求反函数。4、求复合函数的表达式。例1.函数y=的定义域是_. 2007.7知识点：定义域 约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。解 要使根式函数有意义必须满足，要使成立， 只有，即.注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。 基本初等函数的性质与图形如下表所示(表周期)：名称表达式定义域 图 形 特 性常数函数 有界，偶函数幂函数随而异，但在上均有定义时在单增；时在单减无界 指 数 函 数 单增 单减无界对 数 函 数 单增 单减 无界 正 弦 函 数 奇函数有界 余 弦 函 数 偶函数有界 正 切 函 数 奇函数在每个周期内单增，无界 余 切 函 数,奇函数在每个周期内单减无界 反 正 弦 函 数奇函数单增 有界 反 余 弦 函 数单减有界 反 正 切 函 数 奇函数单增 有界 反 余 切 函 数 单减有界例2 求函数的值域 2007.4解：由可知，所以，故的值域为例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）Af (x)= 0，1Bf (x)= （-1，0）Cf (x)=ex (-，+)Df (x)=lnx (0，+)知识点：函数的有界性 注：函数的有界性是指值域的有界性。解：A，故f (x)=在0，1上为有界函数。 B 故f (x)=在（-1，0）上为无界函数。CD结合函数图像判断。例4、设函数是定义在上的任意函数，证明： （1）、是偶函数（2）、是奇函数知识点：奇偶性 若对于任何，恒有成立，则称是奇函数。若对于任何，恒有成立，则称是偶函数奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称分析：因为是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：（1）（2）只证（1）： 偶函数。例5、求函数的反函数. 07.10知识点：反函数求反函数的步骤是：先从函数中解出，再置换与，就得反函数。解：由 ，可得，所以，上式中与的记号互换，即得反函数为例61. 设f (x)=x3-x，则f =( )A.-2 B. C.0 D.2. 已知f(x+1)=x2，则f(x)=_.2009.10知识点 ：复合函数解：1. 答案：C2. 令 则，故由可得，即.二、 极限与连续 常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。3、函数的连续与间断。4、求函数的渐进线。5、级数的性质及等比级数。6、零点定理。典型例题求极限方法总结：利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例7求知识点： 若函数在点处连续，解 因为故 例8、解 ： 知识点：一般地，设，则 例9 _. 2007.7解： 例10 （1）、 2008.1 (2) 2009.1知识点：重要极限：， 解: (1) 因为 ，。(2) 求 2009.1解：例11. 知识点：重要极限 解： (4) 例12求极限（1） （2）知识点：利用等价无穷小代换求函数极限。为无穷小， 且， 则 解：(1)因为, 所以 （2）因为， ，所以 注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小1、 导出 时，2、 导出 时，3、， 导出 时，4、， 导出 时， 5、， 导出 时，6、， 导出 时，例13：(1) 09.7 (2) 09.4 (3) 07.4 （4）知识点： 洛必达法则：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 、其它类型的未定式 ， ， 可转化为分式型的未定式，从而可以用洛必达法则解：(1) （2） (3) (4) 例14求极限（1）. 2009.10 (2) 2007.1知识点; 等价无穷小和洛比达法则结合解： （1） (2) 例15 .设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则（）2007.4A.0B. C.1 D.2知识点： 变上限函数求导求极限解： =例16设函数f(x)=在x=0点连续，则k=（）2009.4知识点：函数连续 若，则称函数在点处连续。分段函数在分段点点处连续在点处既左连续又右连续。解：因为在点0处连续，所以 例17函数 的间断点的个数为 【 】(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个知识点： 判断初等函数的间断点如果在点不连续，则称是的间断点 若下列三种情况之一成立，则是的间断点：i无定义 (是无定义的孤立点) ii不存在 iii有定义，存在，但 若是含有分母的初等函数，则分母的零点是间断点 若是分段函数，则分段的分界点是可疑的间断点解：将函数的分母做因式分解，则有分母的零点就是函数的间断点可以看到分母的零点为，应选择C注： 对函数做因式分解是判断函数零点的常用方法例18求曲线的水平渐近线和竖直渐近线.2009.10解： 因为 ，所以为曲线的水平渐近线，为曲线的水平竖直渐近线。例三、闭区间上连续函数的性质：例20设f(x)在0,1上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点（0，1），使f()=1-.2008.7知识点 零点定理 若在闭区间连续，且，则至少有一点，使证明：.令，则在闭区间连续，则由零点定理至少有一点，使即。第二部分 导数微分及其应用 常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；19 求级数的和6、实际问题求最值。 一、有关定义的题型例21设f (0)=1，求 2008.10知识点：导数的定义 解: 例22设=, 讨论该函数在处的连续性与可导性知识点： 1、函数在点处连续在点处连续既左连续又右连续.2、函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等3、分段函数在分段点的左右导数可用导数的左右极限来得到。解：因为 所以 在处连续因为 ，在处不可导总之，在处连续不可导例23 .设，则=。2007.4解： 例24求曲线上点（0，1）处的切线是.知识点：导数的几何意义，在几何上表示曲线在点处的切线的斜率 解：因为所以曲线在点（0，1）处的切线方程的斜率为,则曲线在点（0，1）处的切线方程为, 即例25设函数在处可导，则在处（C.）2005年4月A.极限不一定存在B.不一定连续C.可微D.不一定可微知识点：可导可微可导连续例26、若函数在点处自变量增量=0.25，对应函数增量的线性主部为2，求函数在该点的导数值 2006年1月知识点：微分解： 因为 所以 二、有关导数计算的题型基本求导公式 导数的四则运算 若函数，都在点处可导，则有()； ()；()， 复合函数的导数设函数及可以复合成函数，若 在点可导，且在相应的点可导，则复合函数在点处可导，且，或 ， 初等函数的求导问题全部解决例27、求下列函数的导数。1) y= .2009.1 导数的四则运算 , 复合函数的导数复合函数求导：逐层求导， 外层求导，内层不动。解：2）例28、 求下列函数的微分 知识点:求微分解：（1）因为 所以 （2）设：，则; ，故所以 例29、求下列函数的导数（1）设 2005.1 （2） 2007.知识点：当幂指函数求导，或当函数是多个因式相乘时，采用对数求导法解 两边取对数： 两边关于求导： 因为 例30、设, 求 2004.10知识点： 高阶导数 ，熟记下列高阶导数公式 解：,所以 例31 求在点处的偏导数。知识点：偏导数计算 解法： , 则 , 例32、求函数)当时的全微分. 2005年1月知识点：全微分解： 所以 注意：如果求非具体点的全微分，只需求出偏导函数，带入全微分公式即可：例33、y, 求 2009.7解：，例34 设方程确定隐函数,求 2005.10知识点：隐含数求导二元方程确定一个一元的隐函数,且F(x, y, z) = 0确定二元函数z =z (x, y)，且：，解：令原方程即为 ，注：使用公式时，将方程表示为 或三、导数应用1、导数和微分在经济分析中的应用边际函数：在经济学中，一个经济函数的导数称为该函数的边际函数弹性函数: 经济函数弹性函数如下定义：注意：1）在点可导，在点的弹性就存在。 2）= 例35 1已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（）2007.1A30-2x2B30-x2C30x-2x2D30x-x2知识点：表示某产品产量， 分别表示成本函数、收益函数和利润函数，则边际成本 MC =边际收益 MR =边际利润 ML =显然：= MRMC 解：因为，答案为.供给价格弹性与需求价格弹性1、设 是市场对某一种商品的供给函数，其中为商品价格， 为市场供给量，则： - 供给价格弹性2、设 是市场对某一种商品的需求函数，其中为商品价格， 为市场需求量，则： - 需求价格弹性注意，当时，所以 负号保证：， 需求价格弹性总是正数。例36.设某商品的需求函数为，其中p表示商品价格，D为需求量，a、b为正常数，则需求量对价格的弹性（）2005.10A.B. C. D. 解：2、导数在研究函数形态方面的应用理论基础：微分中值定理函数的凹凸性，单调性， 极值最值例37 函数在区间是否满足罗尔定理的条件，若满足，求出使的点知识点：、罗尔定理 若函数满足： (1) 在闭区间连续；(2) 在开区间可导 (3) ，则在内至少存在一点，使拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数满足： (1) 在闭区间连续；(2) 在开区间可导 则在内至少存在一点，使解： 在连续且可导，又故在满足罗尔定理的条件由于令，得，即点例38 .函数在区间(-1,1)内（）2005年1月A.单调减小B.单调增加C.不增不减D.有增有减知识点： 设函数在上连续， 在上可导，(1)、若在内， 则在上单调增加；(2)、若在内， 则在上单调减少。解：因为 所以应该选A例39. 试确定函数的单调区间。知识点： 求单调区间一阶导数为零（驻点）或不存在的点可能恰好是单调区间的分界点，这些分界点将函数的定义域分划成若干个部分单调区间。解：函数的定义域为， 且当时， ， 故函数在上单调减少； 当时， ， 故函数在上单调增加。故为单调递增区间，为单调增区间。例40求曲线的凹凸区间和拐点.知识点：曲线的凹凸区间和拐点时，曲线为凹的，曲线为凸的。确定曲线拐点的方法：1、求出在区间上为零或不存在的点；2、这些点将区间划分成若干个部分区间，然后考察在每个部分区间上的符号，确定曲线的凹凸性；3、若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。解：时，。例41求函数y=x-ln(1+x)的极值.知识点： 函数的极值，驻点（导数为0的点）连续函数的极值点必是驻点和不可导的点求函数的极值的步骤： 先求出驻点和不可导点（可疑的极值点），再利用第一充分条件，第二充分条件判断可疑点是否为极值点第一充分条件 设函数在点的某个邻域内连续，在去心邻域内可导， (1)、当 则为的极大值(2)、当 则为的极小值第二充分条件设函数在点处具有二阶导数， 且， 则(1)、当时， 函数在处取得极大值；(2)、当时， 函数在处取得极小值。解：， 定义域：令时，所以x=0是函数的极小值点, 而函数的极小值为0.例42 求在区间上的最大值与最小值知识点：闭区间上连续函数的最值。 方法： 1、先求区间内部可疑的极值点2、计算区间端点和内部可疑极值点的函数值。3、比较函数值大小， 确定最大值和最小值。解 令，得驻点由于，比较可知，在上的最大值为，最小值为。例43证明：当时， 。 2007.1知识点：利用单调性证明不等式。 证明：令，则 ，单调递减，所以当， ， 即.例44.已知某厂生产件某产品的成本为(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品? 2005年1(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 知识点：实际问题：1）求出目标函数，写出定义域。 2）求唯一驻点。 3）由实际意义和驻点唯一直接判断最值情况。解：(1) 平均成本函数为 则，令得由实际意义和驻点唯一可知，当生产1000产品时，平均成本最小。 (2) 利润函数令得由实际意义和驻点唯一可知，当生产6000产品时，利润最大.第三部分 积分计算及应用 考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程一、 不定积分例45 设，则f (x)= _.2007.10知识点：不定积分的概念与性质如果或 ，函数就称为一个原函数，得全体原函数为解：例46知识点：不定积分的计算：运算性质性质1 性质2 ( 为非零常数 )基本积分表为前提1 2 (为常数)， 3 ()， 4 5 6 7， 8 ，9， 10，11， 12 ，13 ， 14 ，解： 注意：计算不定积分一定不要漏掉常数C。例47 (1) (2) (3) （4）2008.10知识点：不定积分的第一换元积分法（凑微分法）解：(1) 。(2) 。(3) (4)+C注意：常见的凑微分公式 ； ； ； ； ； ； 例48. （1）求不定积分. （2） 2007.4知识点：不定积分第二换元法解：（1） 注意：若被积函数中含有的式子，取换元（2）则 所以 +C=注意：当分母次数比分子次数高于1时，可以采用倒代换。例49 求不定积分（1） 2008.1 （2）知识点：分部积分法解：（1） （2） 注意：不定积分的几种计算方法有时需要结合使用，而且也可以移植到定积分的计算。二 定积分牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式 例50 正弦曲线的一段y=sin x)与x轴所围平面图形的面积为（ ）09.7A.1B.2C.3D.4知识点：定积分的几何意义解： 例51 知识点： 被积函数含有绝对值的定积分解： 由定积分的区间可加性，原积分 在区间上，从而；在区间上，从而 原积分注： 对于含有绝对值的定积分，应利用积分的区间可加性脱掉绝对值号。例52 计算定积分 （1）。 （2） 2008.1知识点：定积分的换元计算换元必换限， 下限对下限， 上限对上限解： （1） 取代换，则， 原积分 。（2）令， 则 例53 计算定积分 知识点： 对称区间上定积分偶倍奇零设在上连续，证明：(1) 若为奇函数，则；(2) 若为偶函数，则解：例54 设 求 2006年1月知识点：变上限函数。 当被积函数连续时，变限函数可导，且 解：三 反常积分例55、下列反常积分中发散的是A B. C. D. 知识点:无穷限反常积分 解：应选 C例 56 求曲线及直线所围图形的面积AxyO例57 .求由抛物线所围成图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周所成立体的体积.2008.10知识点：旋转体体积：由连续曲线，直线 与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。由连续曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成旋转体的体积xyO 。解 如图， 所围图形位于-1，1之间。-11所围成图形的面积旋转体的体积xbaOyD四 二重积分的计算二重积分通常都是化为二次积分来计算：1）先对后对积分 X型区域OxydcD积分区域的上边界与下边界在x轴上的投影区间为（右图）则2）先对后对积分，y型区域积分区域的左边界与右边界， 在y轴上的投影为区间（右图）则例58 计算二重积分 其中是直线及 所围的闭区域.解法1 将D看作X型区域, 如图(a) 所示, 则区域可以表示为, 所以.(b) （1） (a) 解法2 将D看作Y型区域, 如图(b), 则,所以. xyy= x-22O-1y2=x2例59 计算积分, 其中D是由抛物线和直线所围成的闭区域解 积分区域如图所示D看作Y型区域, 则区域D可表示为D：, 因此 五 微分方程例60初值问题的隐式特解为（）09.10Ax2+y2=13 Bx2+y2=6 Cx2-y2=-5 Dx2-y2=10知识点：可分离变量微分方程。解：分离变量得，两边积分得 即， 带入初始条件，得C=13。故答案 A例61 求方程的通解。知识点：一阶线性微分方程。的通解为解： 注： 应会鉴别这两种类型的微分方程专心-专注-专业