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初中数学辅导资料数的整除内容提要：如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数 ,那么叫做 A 被 B 整除. 0 能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征2 或 5 末位数能被2 或 5 整除4 或 25 末两位数能被4 或 25 整除8 或 125 末三位数能被8 或 125 整除3 或 9 各位上的数字和被3 或 9 整除(如 771，54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11 整除(如 143,1859,1287,908270 等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7 或 11 或 13 整除 .(如 1001，22743，17567，21281 等) 能被 7 整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数的2 倍其差能被7 整除。如1001100298（能被 7 整除）又如 700770014686，681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11 整除如1001100199（能 11 整除）又如 10285102851023102399（能 11 整除）例题例 1 已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被 9 整除。求 x,y 解： x,y 都是 0 到 9 的整数，75y能被 9 整除， y=6. 32892x567， x=3 例 2 己知五位数x1234能被 12 整除，求 X 解：五位数能被12 整除，必然同时能被3 和 4 整除，当 1234X 能被 3 整除时， x=2，5，8 当末两位X4能被 4 整除时， X0，4，8 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - X8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（ 124）（ 03） 4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是10263。练习1分解质因数： （写成质因数为底的幂的連乘积）5931859128732761010110296 2若四位数a987能被 3 整除，那么a=_ 3若五位数3412X能被 11 整除，那么X_- 4当m=_时，535m能被 25 整除5当n=_时，n9610能被 7 整除6能被 11 整除的最小五位数是_,最大五位数是_ 7能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最小四位数是 _ 88 个数： 125， 756，1011，2457，7855，8104，9152，70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_ 9从 1 到 100 这 100 个自然数中， 能同时被2 和 3 整除的共 _个，能被 3 整除但不是5 的倍数的共 _个。10由 1，2，3，4，5 这五个自然数， 任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除的数共有几个？为什么？11己知五位数A1234能被 15 整除，试求A 的值。12求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。13在十进制中，各位数码是0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是（ 1989 年全国初中联赛题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 初中数学辅导资料（ 2）倍数约数内容提要1 两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 BA） ，那么 A 叫做 B 的倍数， B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数， 3 是 15 的约数。2 因为 0除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0是任何非 0 整数的倍数，非0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3 整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现， 0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有 5，10，。4 整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是 1，2，3，6。5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数 （例如 15与 28互质） 。7 在有余数的除法中，被除数除数商数余数若用字母表示可记作：ABQR，当 A，B，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被B 整除例如 23372则 232 能被 3整除。例题例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数， 从中总结出规律加以应用： 2，22，23，24，3，32，33，34，23， 22 3，2232。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计2 1，2 2 31，3 2 2 3 1，2，3，6 4 22 1，2，4 3 32 1，3，323 223 1，2，3，4，6，12 6 23 1，2，4，8 4 33 1，3，32，33 4 2232 1，2，3，4，6，9，12，18，36 9 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 24 1，2，4，8，16 5 34 1，3，32，33，34 5 其规律是：设 Aambn(a，b 是质数 ,m，n 是正整数 ) 那么合数 A 的正约数的个是（ m+1）(n+1) 例如求 360的正约数的个数解：分解质因数： 36023325，360 的正约数的个数是（ 31）（21）（11）24（个）例 2 用分解质因数的方法求24，90 最大公约数和最小公倍数解： 24233，902325 最大公约数是 23，记作（ 24，90）6 最小公倍数是 23325360，记作24,90=360 例 3 己知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N 解： 322，442 都能被 N 整除， N 是 30，42 的公约数（30，42）6，而 6 的正约数有 1，2，3，6 经检验 1和 2 不合题意， N6，3 例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被 10，9，8 整除,所以所求的数是 10，9，8 的最小公倍数减去1。解：10,9,8=360,所以所求的数是359 练习 2 1，12的 正 约 数 有_,16的 所 有 约 数 是_ 2，分 解 质 因 数300 _,300 的 正 约 数 的 个 数 是_ 3，用分解质因数的方法求20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。4，一个三位数能被 7，9，11整除，这个三位数是 _ 5，能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是 _最大三位数是_ 6，己知 14 和 23 各除以正整数A 有相同的余数2，则 A_ 7，写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。答_ 8，一个长方形的房间长1.35 丈，宽 1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9，一条长阶梯，如果每步跨2 阶，那么最后剩1 阶，如果每步跨 3 阶，那么最后剩2 阶，如果每步跨4 阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5 阶，那么最后剩 4 阶，如果每步跨6 阶，那么最后剩 5 阶，只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？有理数1、已知 a，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）（A）ab（B）0ab（C）0ba（D）0ab2、下列各式正确的是( . ) （A）5351（B）43 43（C） 3.14（D）5118 (10) 3、若 2 的倒数的绝对值是a，则下列结论正确的是（）. (A) a2 (B) a21(C) a2 (D) a214、下列运算正确的是( ) （A） 22 (2)2=1 （B）31128327（C）1352535（D）133( 3.25)63.2532.5445、数轴上点A表示3，点B表示1，则表示A B，两点间的距离的算式是（）（A）3 1（B）3 1（C）1( 3)（D）1 36、若4x，3y，则xy的值是（）. （A） 7 （B） 1 （C） 7 或 1 （D）7 或 1 7、|x+1|+|x-1|的最小值是（）. ab0第 1 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （A）2 （B）0 （C）1 （D）-1 8、若 a、b、c 是非零有理数， 且 a+b+c0，那么|ccbbaa+| abcabc的所有可能的值为（）. （A）0 （B）1 或-1 （C）2 或-2 （D）0 或-2 9、点 A 在数轴上距离原点3 个单位长度， 且位于原点左侧，若将 A 点向右移动 5个单位长度，此时A 点表示的数是. 10.如果21(2)0 xy，则2009()xy_. 11已知 a、b、c 满足 (a+b)(b+c)(c+a)=0 且 abc0,则代数式|ccbbaa的值为 _. 12.若有理数m、n、p 满足1|ppnnmm，则|3|2nmpmnp_. 13.设 a、b、c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，且abc，则|a-b|+|b-c|+|c-a|可能取得的最大值是_. 14、列式计算(1)4、 5、+7 三个数的和比这三个数绝对值的和小多少? (2)从 1 中减去573,1284的和 ,所得的差是多少? 15、计算：（1）153( 30)()3610（2）4311(2.52)4( 1) 46.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉。例如：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 6767 ；677 6；76 7 6 ；6767；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：（ 1） 7 21 _； （2）8.021 _； （ 3）187177 _； （4）328. 22 .3 _；（5）用合理的方法计算：557150512155715021. 17、观察下列各式，再回答问题：12113222，21241333，21351444，（1）根据上述规律填空：211100=_；2112008=_. （2）用你的发现计算：（2112） （2113） （2112007） （2112008）. 1.若 m和 n 是不为零的互为相反数,x 和 y 互为倒数 ,c 的绝对值是2, 求(xy - mn )5+(c4nm )-( xy )100(m+n)10的值 . 2.32131 () ( 4)16413116423. 近似数 40.6 万精确到 _位, 它有_个有效数字 , 即_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 4. 近似数 4.06 104精确到 _位, 它有 _个有效数字 , 即_. 近似数 40600 精确到 _位, 它有 _个有效数字 , 即 _如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）。A. B. C. D. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -