上海交通大学高数期末考试试卷及答案(共6页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2013-2014学年高等数学第一学期期末考试解答(A类)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知直线：、 ：及平面：，则 ( )(A)；(B)；(C)；(D)。【解】，答案：A。2. 当大时，是无穷小的 ( )(A)高阶无穷小； (B)低阶无穷小； (C)等价无穷小； (D)同阶但非等价无穷小。【解】，答案：D。w，答案：D。3. 曲线与该曲线过原点的切线及轴所围成的平面图形的面积为 ( )(A)； (B)；(C)； (D)。【分析】面积：，答案在B，D中，(B)(D)：，切点：，(B) OK, 答案：B。【解】切线：过，得，切线：，w 设切线：，则 Þ ，切点：,面积：. 答案：B。4. 以下可以看作是某个二阶微分方程通解的是 ( )(A)； (B)；(C)；(D)。【解】通解含二个独立任意常数，（A）（B）错， （D）：，错答案：C。5. 设在上,则( )(A)；(B)；(C)；(D)。【解】图解：, Þ ¯，ÈÞ 函数(高度)均值弦的(高度)均值答案：D。二、 填空题(每小题3分，共15分)6. 设是由方程确定的隐函数，则_。【解】（1）；（2），；（3），7. 若反常积分发散,则常数的取值范围是：_。【解】8. 微分方程的通解为：_。【解】方程 Þ Þ 通解：.w 方程 Þ 通解：.9. 已知单位向量、和满足，则_。【解】10. 点在平面上投影点的坐标是_：。【解】投影点,:, 交点满足： Þ ，投影点。三、 (本题8分)11. 已知函数在可导。(1)求的值； (2)求。解(1)； (2) 。四、 计算积分(每小题8分，共24分)12. 计算不定积分。解 。 13. 计算定积分。解 令，则， 。14. 计算定积分。解 令，则，所以 。五、 (本题10分)15. 找出常数的取值，使得是微分方程的解，并求上述微分方程的通解。解 Þ 。 方程 Þ 由刘维尔公式得另一个解： ， 原方程的通解：。w 设另一个解：，则， Þ Þ ，取，得， 原方程的通解：。六、 (每小题10分，共20分)16. 已知直线和的方程分别是，。(1)验证和是异面直线；(2)求轴上的点，使得过的任何一条直线与和不同时相交。·p1l1l2P解(1) Þ ，异面 (2) 记为过，的平面，当时，则若直线过与相交，则与不相交。： Þ Þ：，与轴的交点：；同理： Þ Þ：，与轴的交点：.17. 设曲边梯形由曲线()与直线,和围成(其中)，问：为何值时，曲边梯形绕轴旋转所得的旋转体体积达到最小，最小值是多少?解1 当，即时，得到最小值：。解2 ,. 当时，；当时，；所以最小值在时取到。 。七、 证明题(本题8分)18. 设在上连续的函数满足如下条件：对上任意的连续偶函数，试证明：是上的奇函数。证1 ，。取(偶函数)，得到，从而（），是奇函数。证2 令(偶函数奇函数)取(偶函数)，得到：，从而，()为奇函数。专心-专注-专业