抛物线考点与题型归纳(共14页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上抛物线考点与题型归纳一、基础知识1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2抛物线的标准方程和几何性质标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)方程图形p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0二、常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，为弦AB的倾斜角则(1)x1x2，y1y2p2.(2)|AF|，|BF|.(3)弦长|AB|x1x2p.(4).(5)以弦AB为直径的圆与准线相切典例(1)若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()A.B1C. D2(2)设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_解析(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.又点P到焦点F的距离为2，由定义知点P到准线的距离为2.xP12，xP1.代入抛物线方程得|yP|2，OFP的面积为S·|OF|·|yP|×1×21.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.答案(1)B(2)4 变透练清1若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A. B1C. D2解析：选D由抛物线y22px知其准线方程为x.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，3x0x0，x0，A.点A在抛物线y22px上，2.p0，p2.故选D.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|PF|的最小值为_解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部因为|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.答案：23已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.答案：31 解题技法与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决 典例(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_解析(1)(待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y.(2)由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案(1)D(2)(1,0) 解题技法1求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2ay(a0)，这样就减少了不必要的讨论(2)注意点当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 题组训练1(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212xCx212y Dx212y解析：选D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y.2若双曲线C：2x2y2m(m0)与抛物线y216x的准线交于A，B两点，且|AB|4，则m的值是_解析：y216x的准线l：x4，因为C与抛物线y216x的准线l：x4交于A，B两点，|AB|4，设A在x轴上方，所以A(4,2)，B(4，2)，将A点坐标代入双曲线方程得2×(4)2(2)2m，所以m20.答案：203已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为_解析：由FPM为等边三角形，得|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x24y.答案：x24y考法(一)直线与抛物线的交点问题典例(2019·武汉部分学校调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.若N在以AB为直径的圆上，则p的值为_解析设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，1，p2.答案2解题技法直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决考法(二)抛物线的焦点弦问题典例(2018·全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k>0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.解题技法解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解题组训练1(2018·全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·()A5B6C7 D8解析：选D由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立解得或不妨设M(1,2)，N(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)·0×32×48.2已知抛物线y216x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|6，则|BF|_.解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|x1x146，所以x12，y14，所以直线AB的斜率为k2，所以直线方程为y2(x4)，与抛物线方程联立得x210x160，即(x2)(x8)0，所以x28，故|BF|8412.答案：12A级1(2018·永州三模)已知抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于()A.B.C. D.解析：选D由抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p3，则抛物线的标准方程为x2y，则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选D.2过点P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析：选A设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y.3(2019·龙岩质检)若直线AB与抛物线y24x交于A，B两点，且ABx轴，|AB|4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A1 B2C3 D5解析：选A由|AB|4及ABx轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y24x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x2.又y24x的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为211，故选A.4(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线C：y的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，则x0()A2 B±2C4 D±4解析：选D由y，得抛物线的准线为y2，由抛物线的几何意义可知，|AF|2y02y0，得y02，所以x0±4，故选D.5(2019·湖北五校联考)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.6已知点A(0,2)，抛物线C1：y2ax(a0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|MN|1，则a的值为()A. B.C1 D4解析：选D依题意，点F的坐标为，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|MK|，|KM|MN|1，则|KN|KM|21.kFN，kFN2，2，解得a4.7抛物线x210y的焦点在直线2mxmy10上，则m_.解析：抛物线的焦点为，代入直线方程2mxmy10，可得m.答案：8(2019·沈阳质检)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y23x上，则AOB的边长是_解析：如图，设AOB的边长为a，则A，点A在抛物线y23x上，a23×a，a6.答案：69(2018·广州一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|3，则直线AF的斜率为_解析：双曲线y21的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y28x，|AF|3，xA23，得xA1，代入抛物线方程可得yA±2.点A在第一象限，A(1,2)，直线AF的斜率为2.答案：210已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案：211已知抛物线y22px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px(p0)的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA，kMN.FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，点N的坐标为.12已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p×8，2p8，抛物线C的方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍去)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.B级1设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，MC，以M为圆心的圆M与准线l相切于点Q，Q点的纵坐标为p，E(5,0)是圆M与x轴不同于F的另一个交点，则p()A1 B2C3 D4解析：选B如图，抛物线C：y22px(p0)的焦点F，由Q点的纵坐标为p知M点的纵坐标为p，则M点的横坐标x，即M.由题意知点M是线段EF的垂直平分线上的点，解得p2.故选B.2(2018·全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90°，则k_.解析：法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy4(x1x2)，k.设AB中点M(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足为A，B，则|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)为AB的中点，M为AB的中点，MM平行于x轴，y1y22，k2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90°，得·0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案：23(2019·洛阳模拟)已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp2，p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)设直线AB的方程为ykx，由得x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切专心-专注-专业