直线的方程(解析版)(共7页).docx
精选优质文档-倾情为你奉上专题54直线的方程专题知识梳理1当直线l与x轴相交时，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l的倾斜角，并规定：直线l与x轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角的范围是0°180°2当倾斜角90°时，tan表示直线l的斜率，常用k表示，即ktan.当90°时，斜率不存在当直线过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1x2时，k3直线方程的几种形式名 称方 程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式 不含垂直于坐标的直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用考点探究考向1直线的斜率与倾斜角【例】（1）已知两点A(1，5)、B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率（2）直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 (3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 【解析】（1）设直线l的倾斜角为.则直线AB的倾斜角为2，由题意可知：tan2，整理得3tan28tan30，解得或tan3，0°<2<90°，0°<<45°，tan>0，故直线l的斜率为.（2）直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以，因此k2cos 设直线的倾斜角为，则有tan 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(3) 如图，kAP1，kBP，k题组训练1.若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_【解析】题意得，解得m1.2.(2018·南京名校联考)曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_【解析】设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)，因为y3x211，所以tan 1，结合正切函数的图象可知，的取值范围为3.经过两点的直线的倾斜角为 _【解析】因为经过两点的直线的斜率为，所以倾斜角为.考向2直线方程【例】根据所给条件求直线的方程：(1)过点P(2,4)且斜率k3的直线l的方程；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；【解析】 (1)由题设知，该直线可采用点斜式直线l的方程为y43x(2)，即3xy100. (2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为0，故可设直线方程为.因为直线过点(3，4)，所以，解得a4或9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.题组训练1.倾斜角为120°，在x轴上的截距为1的直线方程是_【解析】由于倾斜角为120°，故斜率.又直线过点(1,0)，所以直线方程为，即2.求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程【解析】当直线不过原点时，设所求直线方程为，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得，所以直线方程为，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.3.直线l过点(5，10)，且到原点的距离为5，则直线l的方程是 【解析】当斜率不存在时，所求直线方程为x50.当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得，解得.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.4.过点(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_【解析】若直线过原点，则直线方程为3x2y0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y3x2，即为xy50，故所求直线方程为3x2y0或xy50.考向3直线方程的综合问题【例】（1） 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值（2）已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程【解析】（1）由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积，当时，四边形的面积最小 （2）方法一 设直线方程为，把点P(3,2)代入得，得ab24，从而SAOB12，当且仅当时等号成立，这时，从而所求直线的方程为2x3y120.方法二 由题意知，直线l的斜率k存在且k<0，则直线l的方程为y2k(x3)(k<0)，且有，B(0,23k)，当且仅当，即时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.题组训练1.过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为_【解析】 若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得，依题意有，即，解得，所以直线m的方程为，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.2.设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围【解析】(1)当a1时，直线l的方程为y30，不符合题意；当a1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以a2，解得a2或a0，所以直线l的方程为3xy0或xy20.(2)将直线l的方程化为y(a1)xa2，所以或，解得a1.综上所述，a1.3.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程【解析】由题意可得kOAtan45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C(，)由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得，解得m，所以A(，)又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.4.已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程【解析】(1)证明：直线l的方程可以变形为k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2，1)(2)由方程知，当k0时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；当k0时，直线为y1，符合题意故k0.(3)由l的方程得A(，0)B(0，12k)依题意得k>0.S|OA|·|OB|·|12k|·(4k4)×(2×24)4，当且仅当k>0且4k，即k时，等号成立，Smin4，此时l：x2y40.专心-专注-专业
