电子科技大学泛函分析(江泽坚)作业题答案(共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上P46:第一章习题：1.验证满足距离定义。解：设，属于，是数， (1)对，有，所以， 且，即当且仅当(2) ；(3)设综上(1)，(2)，(3)，满足距离定义。3.试证明：在空间中的收敛等价于坐标收敛。证：设，若，则必有，否则，与正整数列的子序列，使，因为是单调递增，所以，这与矛盾，故中的收敛可推出坐标收敛。若，则对，由的任意性得故命题得证。4.证明：空间是可分的。证：令表示所有形如的元素的集合，为任意正整数，是任意的有理数，所以可数。故要证在收敛序列空间内是稠密，只需证明，中序列使。对，为收敛序列，所以对，时，有当时，构造使，时有，令，则对，恒有 所以在中稠密，即可分。9.证明：是完备的距离空间。证：设是中的Cauchy序列，则对任意，存在，使得当时， (1)于是对每个固定的，时，这表明对每个固定的，是Cauchy数列。因此收敛。设当时令下面证明并且由(1)式知道，对任意，当时，在上式中固定时，先令，再令，得到 (2)这表明由于是线性空间，故而且式(2)还表明，当时因此故是完备的。26.设是从赋范线性空间到赋范线性空间的有界线性算子，证明证明：由，得，故式中“”均可改为等号，命题得证。27.设是Banach空间上有界线性算子，如果存在上有界线性算子，使，则是有界可逆的，而且反之，如果是有界可逆的，则这里是上恒等算子，即证：(1) 记，则是从到的满射，若，使，则由可得所以，所以是从到得单射，可定义从到中的算子：，当则由可得，所以，又是有界线性算子。所以是有界可逆的。(2) 若是有界可逆的，则既是单射又是满射，且是有界线性算子。对，使且，则，所以，又，所以，即28.设是距离空间，是映射。如果是压缩的，求证：对任意自然数，也是压缩的。如果对某个自然数，是压缩映射，也一定是压缩映射吗证：(1) 因为是压缩映射,所以，使得，从而。假定成立，则有。于是根据数学归纳法原理，对成立。又故有。即是压缩映射。(2) 逆命题不一定成立。例如：是压缩映射，但是不是压缩映射。第二章习题：9.设是Hilbert空间的一个线性流行。证明：(1) 是的子空间；(2) ；(3) 如果也是的线性流行，使，则。证：(1) 如果，是任意两个数，则对每个，我们有，从而，因此是的子空间。(2) ，对有， ；下证对，故，所以，因此，故有。 (3)，。10.试证明按如下范数：，当是完备的赋范线性空间。证：表示Hilbert空间上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形式的线性空间。因为，所以，当且仅当；故，为赋范线性空间。下证是完备的：设是中的Cauchy序列，则对，正整数使当时有 即 因为，有，则，故收敛。设，则上式中令可得 当所以，一致收敛到，而也是连续函数，则，即且，故事完备的。综上，是完备的赋范线性空间。11.证明：对任意的，证：如果，结论显然成立。因此考虑的情形。如果，则Cauchy-Schwarz不等式表明因此，我们有至于相反的不等式，令，则，因此因此，且上确界实际上是最大值。12.验证定理中的是上有界线性算子。证明： 是线性算子。 是有界的，则， 且 又是任意的 使 是有界的。 综上，是上有界线性算子。第三章习题：1.设无穷矩阵满足由它定义的线性算子为其中，试证明是从到自身的有界线性算子，且证：设，则，其中满足，所以对，所以，其中，因为，所以。又，取，存在，使，且，所以，综上所述，原命题得证。5.设是Banach空间，若有界可逆，则有界可逆，证：因为有界可逆，即，对，有，所以，所以有界，又，所以可逆，且19.试证明：Banach空间是自反的当且仅当是自反的。证：假设自反的。如果，则存在某个非零的使得，由于是自反的，存在非零使得，特别地，对所有成立，于是，矛盾。因此，必然是自反的Banach空间。25.设证明：如果，则逐点收敛于，即任给，都有证：因为，则有界。对每个，令，则因此27.设是赋范线性空间的子空间，则证：假设，即，则存在，有(1) ，当(2) ；(3) ，。因为，即对，有又因为，所以，这与矛盾，所以。28.假设，都是赋范线性空间，试证明：如果是Banach空间，则必是Banach空间。证：设是中的Cauchy序列。选择某个不等于零的，然后考虑中的算子列,其中不等式表明，于是是中的Cauchy序列。由的完备性，存在某个，使得现在，选取，使得，且注意到专心-专注-专业