对称性在定积分与多重积分计算中的运用(共8页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上对称性在定积分与多重积分计算中的运用摘要：本文通过一些定理说明了对称性在定积分与多重积分计算中的运用，并通过举例充分体现了对称性在积分运算中带来的方便，大大简化了积分计算，这一点对于数学中积分运算的解答十分重要。关键词:对称性 定积分 二重积分 三重积分 The Application of the Symmetry of Definite Integral and Multiple Integral in the CalculationsAbstract:This paper throught some theorems illustrates that the application of symmetry to calculation the definite integral and the multiple integral,and has manifested the symmetry through some examples fully convenient which brings in the integral calculation,simplified the integral computation greatly,this point is very important for the explanation of the integral operation in mathematics.Keywords: symmetry definite integral double integral triple integral我们知道，在数学分析中，积分占有着很重要的地位；其计算方法也有很多，但却没有固定的方法可循，只能依据基本思路，因题而异进行计算。近年来，通过学习、研究发现,对称性在积分运算中扮演着重要角色，往往能够简化计算步骤。本文着重介绍了对称性在定积分及多重积分计算中的应用，并且总结了利用平面区域的对称性及被积函数的奇偶性来计算积分的几种情况。1.定积分中的对称性定理1 华东师范大学数学系，数学分析（上册）M，北京：高等教育出版社，2001;220229. 假设在区间上可积，（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则.证明：（1）为奇函数时，令，则,所以，即. （2）为偶函数时，令，则.所以.例1.计算定积分.解：原积分，因为是偶函数，而是奇函数，所以由定理1得,原积分=.形如这样的例子有很多，我们可根据具体情况使用定理1，有些可直接使用此定理，有些需通过变形后再用此定理，从而达到简化积分计算步骤的目的。 2二重积分中的对称性对称性在二重积分的计算中也有很广泛的应用，我们根据积分区域的不同，给出了下面的定理2，定理3，定理4及定理5，这几个定理是我们较常用到的。 定理2 孙钦福，二重积分的对称性定理及其应用J，曲阜师范大学学报，2008;29:910. 若区域关于轴对称，位于轴的右半部分，在区域上可积，则可得（1）当为关于的奇函数时，有； （2）当为关于的偶函数时，有.证明：（1）设为型区域，其中在区间上，连续，则 ， 令,则当，即为的奇函数时， .令,则当，即为的偶函数时， ，由上可证明定理2. 定理3 孙钦福，二重积分的对称性定理及其应用J，曲阜师范大学学报，2008;29:910. 若关于轴对称，,在区域上可积，则（1）若为关于的奇函数时，有；（2） 若为关于的偶函数时，有.其证明方法与定理2相同，其中令.定理2和定理3是关于二重积分中积分区域关于对称轴对称的相关定理，下面的例2体现了这两个定理的实际应用。例2.求圆锥被圆柱面所截得的那一部分的体积。解：设圆锥在平面上的投影为区域：.易知积分区域关于轴对称，且被积函数是关于的偶函数,所以由定理2得：.我们令,则变为.所以,.定理4和定理5是二重积分中对称区域关于原点及直线对称时对称性应用的定理，我们通过下面的例3和例4来体现其具体作用。定理4 张仁华,二重积分计算中的若干技巧J,湖南冶金职业技术学院学报, 2008; 8( 2 ) : 102104. 设在区域上可积，其中区域关于原点对称，则（1）当为的二元全奇函数时，有；（2）当为的二元全偶函数时，有.证明：（1）将区域分为关于原点对称的两个区域和，易知对任意的点，它关于原点对称的点,都有由雅可比行列式得：,而,因此 .同理可证明（2），最后得出定理4的证明。例3 陈琼，积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用J，洛阳工业高等专科学校学报，第3期。.计算积分，区域：. 解：由题意知，积分区域关于原点对称，而被积函数为关于的二元全奇函数,令区域=，则 .定理5 函数在区域上可积，若关于直线对称，则可得到下面结论： .例4.计算积分，其中. 解：易知积分区域关于直线对称，则由上述定理5得 .3.三重积分中的对称性我们同样可以利用对称性来简化三重积分的计算步骤，下面归纳了几个常用的定理，并通过例5来体现几个定理的综合应用。定理6 王宪杰，对称区域上二重积分和三重积分的计算J，牡丹江师范学院学报，2007(4):6566 设为有界闭区域，且关于坐标面对称,函数在上连续，则对任意的点,都有（1）当为关于的奇函数时，有；（2）当为关于的偶函数时，有.其中. 定理7 王宪杰，对称区域上二重积分和三重积分的计算J，牡丹江师范学院学报，2007(4):6566 设为有界闭区域，且关于坐标面对称，函数在上连续，则对于任意的点,都有（1）当为关于的奇函数时，有；（2）当为关于的偶函数时，有.其中.定理8 王宪杰，对称区域上二重积分和三重积分的计算J，牡丹江师范学院学报，2007(4):6566 设为有界闭区域，且关于坐标面对称，函数在上连续，则对于任意的点,都有（1）当为关于的奇函数时，有；（2）当为关于的偶函数时，有.其中.例5.计算，其中：.解：易知关于坐标面，坐标面及坐标面都是对称的，且被积函数是同时关于的偶函数。我们令，则.又因为 ，因此，. 三重积分的积分区域比较为复杂，我们在运用对称性时，必须充分考虑被积函数和积分区域两个方面。以上我们讨论的是比较常见的对称性在积分计算中的运用，通过研究我们知道，利用对称性求积分带来了极大的方便，同学们掌握了这些基本定理，不仅提高了学习积分计算方面知识的兴趣，同时也可以利用这些定理大大简化定积分与多重积分的计算，往往能起到事半功倍的作用。另外在利用对称性求积分时，我们也必须注意一个问题：使用上述定理时，不仅要考虑对称区域的对称性，还要考虑被积函数的对称性，当两者相匹配时才可使用。 参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，2001;218-223.2葛广俊.怎样计算二重积分J.安徽电子信息职业技术学报，200;6（2）:57-59.3钱吉林.数学分析解题精粹M.武汉:崇文书局，2003;292-293.4王宪杰.对称区域上二重积分和三重积分的计算J.牡丹江师范学院学报，2007（4）;65-66.5温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧M.高等数学研究，2008;11（2）:63-65.6孙钦福. 二重积分的对称性定理及其应用J. 曲阜师范大学学报,2008;29: 9-10.专心-专注-专业
