高中数学导数及其应用测试题(共7页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上导数及其应用单元复习检测题 说明：本试卷分第卷和第卷两部分，共150分；答题时间120分钟.第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是 ( )A.300 B.450 C.600 D.9002.若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( )A.c0 B.当a>0时，f(0)为极大值C.b=0 D.当a<0时，f(0)为极小值3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 （ ）A. B. C. D.4.由曲线与坐标轴围成的面积是 （ ）A.4 B. C.3 D.25.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 ( )A.（0，1） B.（-，1） C.（0，+） D.（0，）6.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)= ( )A. 0 B. 1 C. n D. n!7.经过原点且与曲线y=相切的方程是 ( )A.x+y=0或+y=0 B.xy=0或+y=0C.x+y=0或y=0 D.xy=0或y=08.由曲线与，所围成的平面图形的面积为 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n为正整数)，则fn(x)在0,1上的最大值为 ( )A.0 B.1 C. D.10.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为（ ）A. 3 m/s B. 0.875m/s C. 1.4 m/s D. 5 m/s11.过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 12.双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于一个常数，则这个常数为 （ ） A .1 B. 2 C. D. 第卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13.已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_.14.若f(x0)=2, =_.15. 设为三次函数，且图象关于原点对称，当时，的极小值为，则函数的解析式为_.16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分).17计算下列定积分：(1)；（2）.18设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.19. 一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，其中k为比例常数（k>0）试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功.20. 抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax21.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器 （切、焊损耗不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a）,在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b）.xxab请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积；由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积.22已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时.(1) x(2) 参考答案1,3,5一、 选择题1.选B.由f(x)=2x，得k= f()=1,所以倾斜角为450.2.选C.由f(x)=3x2+2ax+b,得f(0)=b=0.3.选A.与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.4. 选C. .5.选A.由f(x)=3x2-6b=0，在x(0,1)内有解，b=（0，）.6.选D.设g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0·g(0)=g(0)=1·2·n=n！.7.选A.设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(3，3)或B(15,),从而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=x或lB:y=.8. 选A. .9.选D.fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4·()n+1.10.选B.设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,当下端移开1.4 m时，t0=,又s= (259t2)·(9·2t)=9t,所以s(t0)=9×=0.875(m/s).11.选A.设切线的方程为又12.选D.设双曲线上任一点P（x0，y0）, , 切线方程 ,令y=0，则x=2x0，令x=0，则 . .二、 填空题13. y=x2，当x=2时，y=4.切线的斜率为4.切线的方程为y4=4（x2），即y=4x4.答案：4xy4=0.14.根据导数的定义：f(x0)=(这时)答案：1.15.设，因为其图象关于原点对称，即，得由，依题意，解之，得.答案：.16.设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么 h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=x·h=从而.令S=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大. 答案：R.三、解答题17（1）= +=；(2) 原式=1.18.由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.19. 物体的速度媒质阻力，其中k为比例常数，k>0当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为：20依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以 (1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，令S'(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S'(b)0；当b3时，S'(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且21.（1）设切去的正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x，所以, ,.令,得(舍去).而, 又当时, .当时, ,当时, 取最大值.（2）重新设计方案如下： 如图在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器. 图223图14231图 新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积 ，显然. 故第二种方案符合要求.22.（1）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（2）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此 故专心-专注-专业
