线性代数期末考试题答案(共11页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上线性代数B期末试题解答05一、判断题(正确填，错误填×。每小题2分，共10分> 1A是n阶方阵，且A0，则n元方程组AXb有唯一解。 < ）2A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。 < ）3如果X1 与X2 皆是AX =b的解，则X1 X2 也是AX =b的解。 ( × >4若A为n阶方阵，其秩r < n,那么A任意r个行向量线性无关。 ( × >5从A中划去一行得到矩阵B，则A的秩B的秩。 < ）二、单项选择题<每小题3分，共15分）1设A是n阶矩阵，其伴随矩阵为A，E为单位矩阵。则A A*为 ( A ><A）|A|E (B> E (C> A* (D> 不能乘2设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABCE，则必有< C ）。<A）ACB =E <B）CBA =E <C）BCA = E <D）BAC =E3设A为n阶方阵，且A5，则<3A1）T< C） (A> (B> (C>3n· (D> 3·5n4设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r <n，则方程组< C ）。<A）其基础解系可由r个解组成；<B）有r个解向量线性无关；<C）有n r个解向量线性无关；<D）无解。5n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角阵相似的< B ） <A）充分必要条件 <B）充分而非必要 <C）必要而非充分条件 <D）既非充分也非必要三、填空题<每小题5分，共25分）1(ab-cd>(pg-ef>。2为3阶矩阵，且满足6,则=_1/6_，33·62=972 。3设齐次线性方程组的系数矩阵A此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是不可能，齐次方程组总有解 ，当取值为-5时方程组有无穷多解。PtCfXhBjKQ4已知是四元方程组AXb的三个解，其中的秩=3，则方程组AXb的通解为 。5设，则A -54，A的秩R(A>是3。四、计算下列各题<每小题8分，共24分）。1. 设且知AXA=3X，求矩阵X。解：2. 已知向量组求向量组A的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。解：R(A> = 3； 是一最大无关组；3. 设P1AP，求A11。解：五、解方程组<本题8分）已知方程组取什么值时方程组有解？在有解的情况下，求方程组的通解。解：当a=0, b=2 时方程组有解，这时:方程组的通解为：X = (-2 3 0 0 0>T+C1(1 2 1 0 0>T+C2(1 2 0 1 0>T+C3(5 6 0 0 1>TPtCfXhBjKQC1,C2,C3位任意常数。六、<本题8分）已知二次型求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。解：非正定。七证明题<每小题5分，共10分）。1. 若A，B都是n阶方阵，如果AB0，证明R(A>+R(B>n 。证明：由题设，B的各列属于AX = 0的解空间,于是 R(B>n-R(A>,因此：R(A>+R(B>n。2. 设A为n阶非零矩阵，A是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当AAT时，证明A0。证明: 设A=(aij>,由题设aij不全为零。令B=AAT=(bij>,则B不是零矩阵，其对角元:若A= 0，则有：AAT=AA*=AA = 0, 矛盾。线性代数试题解答(04>一、1<F）<）2<T） 3<F）。如反例：，。4<T）<相似矩阵行列式值相同）5<F）二、1选B。初等矩阵一定是可逆的。2选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。PtCfXhBjKQ3选C 。由，>。4选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。PtCfXhBjKQ5选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。三、1 <按第一列展开）2 ；<=）3 相关<因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。4 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。PtCfXhBjKQ5<四、1解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，PtCfXhBjKQ当时增广矩阵，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵，因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。再将，正交化为，。最后将，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。5 解：<1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。PtCfXhBjKQ<2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。PtCfXhBjKQ<3）的特征值为2，5，1，1。故=10。五、1为对称矩阵。 证明： =，所以为对称矩阵。2为正定矩阵。证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。专心-专注-专业
