2022年初二数学人教版因式分解讲义.pdf

初二数学因式分解辅导教案授课教师授课对象授课时间授课题目因式分解课型使用教具教学目标因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学家问题重要的手段和工具， 有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见。对于特殊的因式分解，除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外， 还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法，这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，使复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下，供同学们参考。教学重点和难点通过具体的题目来复习相关内容参考教材八年级数学教参因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2 ) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(a b)2；(3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 ab c， ， 是ABC 的三边，且222abcabbcca，则ABC 的形状是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形解：222222222222abcabbccaabcabbcca222()()()0abbccaabc三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=)(banm例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 =)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：分解因式 1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx例 4、分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba练习：分解因式 3、yyxx39224、yzzyx2222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 综合练习：（ 1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）) 1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0a5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求24bac0 而且是一个完全平方数。于是98a为完全平方数，1a例 5、分解因式：652xx分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23 的分解适合，即 2+3=5。1 2 解：652xx=32)32(2xx1 3 =)3)(2(xx12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式：672xx解：原式 =)6)(1()6()1(2xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习 5、分解因式 (1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习 6、分解因式 (1)22xx(2)1522yy(3)24102xx（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件：（ 1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 例 7、分解因式：101132xx分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132xx=)53)(2(xx练习 7、分解因式：（ 1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：221288baba分析：将 b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx1 -2y 把 xy看作一个整体1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(xyxy练习 9、分解因式：（ 1）224715yxyx（2）8622axxa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 综合练习 10、（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、换元法。例 13、分解因式（ 1）2005) 12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（ 1）设 2005=a，则原式 =axaax)1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式=2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习 13、分解因式（ 1）)(4)(22222yxxyyxyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - （2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa例 14、分解因式（ 1）262234xxxx观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 =)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则21222txx原式 =6)2222ttx （=10222ttx=2522ttx=215222xxxxx=21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx解：原式 =22241(41)xxxxx=1141222xxxxx设yxx1，则21222yxx原式 =22(43)xyy=2(1)(3)xyy=)31)(11(2xxxxx=13122xxxx练习 14、（1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1）4323xx解法 1拆项。解法 2添项。原式=33123xx原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - （2）3369xxx解：原式 =)1()1()1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习 15、分解因式（1）893xx（2）4224) 1()1() 1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba七、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前 3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm原式=)32)(23(yxyx例 17、（1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx，故此多项式分解的形式必为)(byxayx解：设6522ymxyx=)(byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(2382323ccbca解得4147cba，ba=21 练习 17、（1）2910322yxyxyx（2）6752322yxyxyx（3） 已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4） k 为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m= . 3. 分解因式： x2-4y2= _ _. 4、分解因式：244xx=_ _。5. 将 xn-yn分解因式的结果为 (x2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 . 6、若5,6xyxy，则22x yxy=_，2222xy=_。二、选择题7、多项式3222315520m nm nm n的公因式是 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - A、5mn B、225m n C 、25m n D 、25mn8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A、2339aaa B、22abababC 、24545aaa a D、23232mmm mm10.下列多项式能分解因式的是（）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4 11把（ xy）2（yx）分解因式为（）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C （yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）C x（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D （a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k 应为（）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2 三、把下列各式分解因式： 14、nxny 15、2294nm16、m mnn nm 17、3222aa bab18、222416xx 19、22)(16)(9nmnm；五、解答题20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。24284216842(1) 111(2) 1111(3) 11111(4) 111111(5) _xxxxxxxxxxxxxxxxxx经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式xxxxx54321分析：这是一个六项式， 很显然要先进行分组， 此题可把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把xx54，xx32，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式()()xxxxx54321精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - xxxxxxxxxxxxx32232221111111()()()()()()()解二：原式 =()()()xxxxx54321xxxxxxxxxxxxxxxxx4244222211111121111()()()()()()()()()() 2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式xx3234解一：将32x拆成222xx，则有原式xxxxxxxxxxxx322222242222212()()()()()()()()解二：将常数4拆成13，则有原式xxxxxxxxxxxx32222133111 3314412()()()()()()()()() 3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：()()xxx2241021100()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxx223710027231005145610022设yxx25，则原式无论 取何值都有的值一定是非负数()()()()()()yyyyyyyxxx1461008164404102110022222 4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()abcabbc2333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与 a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 原式()()()()()ABABAA BABBABA BABAB ABabbcabc333322333223333332说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1. 在ABC中，三边 a,b,c满足abcabbc222166100求证：acb2证明：abcabbc222166100aabbcbcbabcbabc abcabcabcabcabcacb2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2. 已知：xxxx12133，则_ 解：xxxxxx3321111()()()()xxxx11212122说明：利用xxxx222112()等式化繁为易。题型展示 1. 若 x 为任意整数，求证：()()()7342xxx的值不大于 100。解：100)4)(3)(7(2xxx()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxxx723210051456100585165407341002222222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2. 将aaaa222222216742()() 分解因式，并用分解结果计算。解：aaaa22221()()aaaaaaaaaaa22222222221211()()()()6742366143184922222()说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：（ ）（）131083108233315543222xxxxxaaaa()()2. 已知：xyxyxy6133，求：的值。3. 矩形的周长是 28cm ，两边 x,y 使xx yxyy32230，求矩形的面积。 4. 求证：nn35是 6 的倍数。（其中n 为整数） 5. 已知：a、 b、 c 是非零实数，且abcabcbcacab22211111113， ()()()， 求 a+b+c的值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 6. 已知： a、b、c 为三角形的三边，比较abca b222224和的大小。经典三： 因式分解练习题精选一、填空：（ 30 分）1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于 _。2、22)(nxmxx则m=_n=_ 3、232yx与yx612的公因式是4、若nmyx=)()(4222yxyxyx，则 m=_，n=_。5、在多项式2353515yyy中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是_ 。6、若16)3(22xmx是完全平方式，则m=_。7、_)(2(2(_)2xxxx8、已知,01200520042xxxx则._2006x9、若25)(162Mba是完全平方式 M=_。10、22)3(_6xxx，22)3(9_xx11、若229ykx是完全平方式，则k=_。12、若442xx的值为 0，则51232xx的值是_。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 13、若)15)(1(152xxaxx则a=_。14、若6,422yxyx则 xy_。15、方程042xx，的解是 _。二、选择题：（ 10分）1、多项式)()(xbxaabbxxaa的公因式是（）A、a、B、)(bxxaaC、)(xaaD、)(axa2、若22)32(9xkxmx，则 m，k 的值分别是（）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：4422222222,)()(,yxyxyxyxyx中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4个4、计算)1011)(911 ()311)(211(2232的值是（）A、21B、2011.,101.,201DC三、分解因式：（ 30 分）1 、234352xxx2 、2633xx3 、22)2(4)2(25xyyx4、22414yxyx5、xx56、13x7、2axabaxbxbx28、811824xx9 、24369yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 四、代数式求值（ 15 分）1、已知312yx，2xy，求43342yxyx的值。2、若 x、y 互为相反数，且4)1()2(22yx，求 x、y 的值3、已知2ba，求)(8)(22222baba的值五、计算：（15）（1） 0.7566.24366.3（2）200020012121（3）2244222568562六、试说明：（ 8 分）1、对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被动 24 整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 七、利用分解因式计算（8 分）1、一种光盘的外D=11.9 厘米，内径的 d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形 1 的周长比正方形 2 的周长长 96厘米，其面积相差960 平方厘米求这两个正方形的边长。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -