基于MATLAB在数理方程的应用(共13页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上MATLAB语言课程论文基于MATLAB在数理方程的应用 姓名：廖威学号：专业：通信工程班级：通信班指导老师：汤全武学院：物理电气信息学院完成日期：2011.12.12基于MATLAB在数理方程的应用（ 廖威 2010级通信班）摘要 MATLAB 是近几年传播最快、影响最大的数学类应用软件。应用MATLAB 求解数学物理方法中的一些题目，使原来繁琐的手工计算变得简便，而且可将数理方程的解及一些特殊函数以图形的形式显示出来，形象、直观，便于理解。数理方程当中有许多的复杂的数值及数学符号的计算数学物理方法是许多理工专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难度大的课程。因课程内容抽象，数学推导繁琐，学生学习起来感到非常枯燥。MATLAB 是高性能的数值计算型数学类科技应用软件，具有优秀的数值计算功能和强大的数据可视化能力。本文以一些典型习题为例，介绍了MATLAB 在复变函数、积分变换、数理方程和特殊函数等方面的应用。关键词 MATLAB 积分变换 数学物理方程 特殊函数 图形绘制一、 问题的提出 MATLAB是近几年传播最快、影响最大的数学类应用软件。应用MATLAB求解数学物理方法中的一些题目，使原来繁琐的手工计算变得简便，而且可将数理方程的解及一些特殊函数以图形的形式显示出来，形象、直观，便于理解。而且MATLAB强大的科学运算、灵活的程序设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能，显示出其很强的优越性二、MATLAB在解偏微分方程中的应用 应用MATLAB 求解数学物理方程， 可通过编程或直接利用偏微分方程工具箱求解，直接利用偏微分方程工具箱更为简单、方便。在数理方程课上我们学习解矩形域方程的问题： 例1：在矩形域-0.5<x<0.5,-0.5<y<0.5 上求解u2，且u 在边界上的值为零。利用偏微分方程工具箱求解过程如下：(1)启动偏微分方程求解界面。(2)在MATLAB 命令窗口中键入pderect (-0.5 0.5 -0.5 0.5), 选择BoundaryRemove All SubdomainBorders 菜单项，得出偏微分方程的求解区域。（3）单击偏微分方程界面工具栏中的PDE 图标，选择其中的Parabolic 选项，将给定的偏微分方程的参数输入到该对话框中。（4） 边界条件由Boundary 菜单下的Specify Boundary conditions 确定，输入边界条件h=1，r=0。（5）单击工具栏等号按钮，得到偏微分的解，单击图形设置按钮，得出如图1所示的结果。 MATLAB程序如下：clear all %泊松方程的解pderect(-0.5 0.5 -0.5 0.5 ); %微分方程的求解区域h1=1,r=0; %初始条件 运行结果如图1所示。 图1 泊松方程的解通过以上程序对求解方程使其为可视化，加深对问题的了解。现在我们来解决另一个问题。三、MATLAB在解特殊方程中的应用： 例2.画出连带勒让德多项式（2 阶）的曲线分布， MATLAB语句为：x=-1:0.01:1 %求解范围plot(x,LEGENDRE(2,x) %sunlink挂函数语句，输出图形运行结果如图2所示。 图2 连带勒让德多项式(2 阶)的曲线分布例3：画出第一类贝塞尔函数J15 （x）的曲线分布。MATLAB 语句为： x=0:0.01:50 %求解范围plot(x,BESSELJ(15,x) %函数语句，输出图形运行结果如图3所示。图3 贝塞尔函数（15 阶）J15 （x）的曲线分布以上只是我们用MATLAB解一些经典的数理方程，MATLAB在显示其强大的绘图和解方程上的优势。下面我们来看MATLAB在解实际应用方程的运用，先来看在解齐次波动方程。 四、作出有界弦振动问题解析解的图形分布： （1） 解析解：u=（取系数为1） （2）例4：n=1本振解随时间变化的图形分布。cleara=1;l=1;x=0:0.05:1;t=0:0.001:3;u=0; n=1; %函数参数X,T=meshgrid(x,t); %函数变量u=(cos(n*pi*a*T/l)+sin(n*pi*a*T/l).*sin(n*pi*X/l) %函数定义式figure(1) axis(0 1 -0.05 0.05) %图形取点，x分布mesh(X,T,u) title('n=1本振随时分布的透视图') %图像名xlabel('x') %图像坐标轴'x'ylabel('t') %图像坐标轴'y'zlabel('u') %图像坐标轴'u'运行结果如图4所示。'图4 n=1本振解随时间变化的图形例5：n=2本振解随时间变化的图形分布。cleara=1;l=1;x=0:0.05:1;t=0:0.001:3;u=0; n=2; %函数参数X,T=meshgrid(x,t); %函数变量u=(cos(n*pi*a*T/l)+sin(n*pi*a*T/l).*sin(n*pi*X/l) %函数定义式figure(1)axis(0 1 -0.05 0.05) %图形取点，x分布mesh(X,T,u) title('n=2本振随时分布的透视图')xlabel('x') %图像坐标轴'x'ylabel('t') %图像坐标轴'y'zlabel('u') %图像坐标轴'u' 运行结果如图5所示。 图5 n=2本振解随时间变化的图形分布 五、MATLAB在复变函数中的应用1、复数计算例6：求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。（1）（1+i）6 （2）i/(1+i)+(1-i)/i定义复数后，利用简单的MATLAB 语句：real（）、imag( )、conj( )、abs( )、angle( )可直接得出复数的的实部、虚部、共轭复数、模与辐角。解：>>a=(1+i)6 i/(1+i)+(1-i)/i %函数方程a=0-8.0000i-0.5000-0.5000i %函数化简>>real(a) %求实部ans=0-0.5000 >>imag(a) %求虚部ans=-8.0000-0.5000 >>conj(a) %求共轭复数ans=0+8.0000i-0.5000+0.5000i>>abs(a) %求复数的模ans=8.0000 0.7071>>angle(a) %求辐角ans=-1.5708-2.3562例7：求方程z3 80 的所有的根。调用内部函数Solve 进行求解。解：>>Solve(z3+8=0) %调用函数Solve求方程的根ans =-21+i*3(1/2)1-i*3(1/2)2、复变函数的图形绘制在复变函数的教学与研究中，对于复变函数的图形绘制往往繁冗复杂，仅凭手工很难画出来。MATLAB软件中自带了图像处理工具包，它是由一系列支持图像处理操作的函数组成的，它囊括了几乎所有主流的科学计算中所涉及的图像处理功能。借助MATLAB的绘图功能，可以快捷、准确地绘出图形，使教学变得形象、直观、生动，有利于学生观察图形的形状，掌握图形的性质。例8:绘制函数z的图像。输入MATLAB 语句如下:z=cplxgrid(20); %在复平面上面得到一个21*41的网格w=z.3; %函数方程surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w); %绘制三维曲线图title('z3'); %图像名运行结果如图6所示。图6 z的图像例9:作出圆周z = 3 在映射 = z + 1./z下的像。编写相应的m 文件yingshe m 为:syms x y z t %定义变量t=-pi:0.01:pi; %求解范围x=3*cos(t); %定义xy=3*sin(t); %定义yz=x+i*y; %复数z型式w=z+1./z; %函数方程subplot(2,1,1); %选择2×1个区中的1号区plot(z) ; %函数语句，输出图形title('z=3*cos(t)+i*sin(t)'); %图像名axis equal %纵、横坐标轴采用等长刻度subplot(2,1,2); %选择2×1个区中的2号区plot(w); %函数语句，输出图形title('w=z+1./z') %图像名axis equal %纵、横坐标轴采用等长刻度运行结果如图7所示。图7 =3在映射=z+下的像3、Taylor级数展开Taylor 级数的展开可以用符号工具箱中的Taylor( )函数直接导出。例10：将函数1/（1z）2在z=0处展成幂级数。解：>>syms z； %定义变量>>Taylor(1/(1-z)2,0) %Taylor( )函数直接导出ans =1+2*z+3*z2+4*z3+5*z4+6*z54、留数计算通过求极限的方法计算留数。例11：确定函数f（z） z2i/(z5 4z3)的极点，并求出函数在极点处的留数。解：通过对函数的分析，可知z=0是三阶极点，z=2i,-2i是单极点。>>syms z; %定义变量 >>f=(z+2*i)/(z5+4*z3); %函数方程>>limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0) %求函数在极点0处的留数ans=-1/8*i>>limit(f*(z-2i),z,2i) %求函数在极点2i处的留数ans=1/8*i>>limit(f*(z+2i),z,-2i) %求函数在极点-2i处的留数ans=0有理函数的部分分式展开。MATLAB语言中给出了现成的数值函数residue( )求取有理函数的部分分式展开表示，该函数的调用格式为:R，P，K= residue( B，A)。返回留数、极点和两个多项式比值B( s) /A( s) 的部分分式展开的直接项 (3)向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数，向量R是返回的留数，向量P是返回的极点，向量K由B( s)/A( s)的商的多项式系数组成，若length( B)length( A)，则K为空向量，否则，length( K) =length( B)length( A)+1。如果存在m级极点则有P(j)=P(j+m1)，展开式包括以下形式: (4)例12:计算函数f(z)= (z24z+3)/(z3+2z2+z)的留数，并求其部分分式展开。在MATLAB 窗口输入:>>B=1 -4 3; %向量BA=1 2 1; %向量AR,P,K=residue(B,A); %函数调用B,A1=rat(R);B,A1,P;ans =2 1 18 1 13 1 0结果表明:留数为Resf(z)，1=2，Resf(z)，0=3，部分分式展开为5、积分计算积分计算可以转化为留数计算，先求被积函数的留数，利用留数定理求复变函数的积分。例13：求c矣dz（z2 1）（z2 4）（其中C是逆时针方向的圆周：z 32）解：>>R,P,K=residue(1,1,0,5,0,4) %函数调用R= %求被积函数的留数0+0.0833i0-0.0833i0-0.1667i0+0.1667iP= %四个极点0+2.0000i0-2.0000i0+1.0000i0-1.0000iK= %（展开式中无此解析项）可见在圆周z32内有四个极点，所以积分值S为：>>S=2*pi*i*sum(R) %计算出积分的值S=0利用MATLAB进行复数运算、级数。六、MATLAB在傅里叶变换的应用 在MATLAB语言中使用fourier函数来实现Fourier变换。首先定义符号变量t描述时域表达式f,直接调用fourier函数就可求出所需的时域函数的Fourier变换式。 该函数的调用格式为F=fourier(f)采用默认的t为时域变量F=fourier( f，u，v),用户指定时域变量u和频域变量v使用ifourier函数来实现Fourier逆变换。它的使用格式如下: f=ifourier(F),按默认变量进行Fourier逆变换; f=ifourier(F，u，v),将u的函数变换成v的函数。 例14:已知f(t)=e(t)sin2tu(t)，求f(t)的Fourier变换，并对结果进行Fourier逆变换。 输入MATLAB 语句如下: syms t w %定义变量 f=exp(t)*sin(2*t)*sym(Heaviside(t); %时域表达式f F=fourier( f) %求Fourier变换 运行结果F= 2/(1+2*i+i*w)/(12*i+i*w) f=ifourier(F，w，t) %求Fourier 逆变换 运行结果f= exp(t)*sin(2*t)*Heaviside(t)返回原函数。 上面证明了在MATLAB语言中可以使用fourier函数来实现Fourier变换。下面我们来探讨能否在MATLAB语言中使用laplace函数来实现Laplace变换。七、MATLAB在Laplace变换的应用在MATLAB语言中使用laplace函数来实现Laplace变换。首先定义符号变量t，描述时域表达式f，直接调用laplace函数就可求出所需的时域函数的Laplace变换式。该函数的调用格式为:F=laplace(f)，采用默认的t为时域变量;F=laplace(f，u，v)，用户指定时域变量u和频域变量v。使用ilaplace函数来实现Laplace变换。它的使用格式如下:f=ilaplace(F)，按默认变量进行Laplace逆变换;f=ilaplace(F，u，v)，将u的函数变换成v的函数。例15:设函数f(t)=e（t）t2.sin(t+)，求其Laplace变换，并对结果进行Laplace逆变换。输入MATLAB 语句如下:syms t s %定义变量f=exp(t)*t2*sin(t+pi); %时域表达式f F=laplace(f，t，s) %求Laplace变换。运行结果F=8/(s+1)2+1)3*(s+1)2+2/(s+1)2+1)2f=ilaplace(F，s，t) %求Laplace逆变换。运行结果f=exp(t)*t2* sin(t) 因为sin(t+)=sint，所以得出的就是原函数。八、结论从以上利用MATLAB语言对基本数理方程（经典方程有界弦振动问题等）的分析，我们不难得出以下结论：1.应用MATLAB求解数学物理方法中的一些题目，使原来繁琐的手工计算变得简便，而且可将数理方程的解及一些特殊函数以图形的形式显示出来，形象、直观，便于理解。而且MATLAB强大的科学运算、灵活的程序设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能，显示出其很强的优越性2.应用MATLAB求解数学物理方法中，在解经典方程、复变函数问题的时候解决掉了手工计算式子多，计算繁杂，求解过程复杂的问题。在解有界弦振动问题，运用MATLAB编程求解得出图形，其汇编语言、程序编写相当简单。得出的图形直观，在帮助同学们理解复杂的数理方程的意义、掌握这门与我们物电专业相关的学科有很大的帮助。九、课程体会经过一学期紧张而又有序的课程学习，在忙碌之余也得到了颇多的收获。下面是我的一些心得体会：1.认识主客体在教学过程中，应坚持以数学物理为主，MATLAB为辅，千万不能把数学课变成计算机语言课，“体脑倒挂”、主次不分。因此，无论是课堂演示、课外作业还是数学实验，都必须紧密结合教材内容，做到有的放矢。要求教师在课前必须做充分的准备，每一个实例、每一个程序都要精心设计。另外，学生不能依靠计算机语言来完全替代理论的计算过程。我们需知道MATLAB只是验证理论、计算的一种工具。2.充分调动学习的热情由于课程内容困难，绝大多数同学都会对教学内容有恐惧心理。因此，必须利用MATLAB的强大图形处理能力及易用性消除大家的恐惧，增加其学习的动力。每次演示的时候，向同学们展示相关内容的最优美的部分，如动画、三维图像、图像的拖曳、声音背景等，从而吸引广大同学的眼球，提高学习的主观能动性。另外，往届同学所编制的一些样本程序同样可以打破同学们的恐惧心理，提高其自信心。3.抓住学习的本质尽管MATLAB语言非常简单，但教授学生掌握还是需要一个过程。因此，必须掌握一个尺度，使用正确的教授方法。我们的经验是采用演示的形式，教会基本操作、基本命令，结合具体的例子进行编程。更重要的是，同学们必须学会使用MATLAB强大的联机帮助功能以及联机演示程序所给出的实例。事实上，MATLAB里面包含众多的工具箱。任何一门课程都无法教会同学们精通所有的内容，只有教授大家熟练掌握了自学的本领，才是学习这门语言的捷径。4.结合各种方法，提高学习效率。除了常规的教学方法外，在利用MATLAB辅助教学的过程中，作者也试用了基于问题的学习方法等。比如，在特殊函数绘图以及数值计算方法的实验中，要求广大同学自己学习命令，绘制教材上的曲线，求解书本上的例题或作业；在这个过程中，鼓励同学们发扬团队精神，利用集体智慧解决问题；鼓励“头脑风暴法”等的使用。这些方法的应用，一方面挑战了同学们的智力，一面提升了其合作精神，是学习数学物理方法、学习MATLAB语言的有效途径。参考文献1 刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）M.北京：高等教育出版社，20062求是科技编著.MATLAB7.0 从入门到精通M.北京:人民邮电出版社,2006.3张志涌.精通MATLABM.北京:北京航天大学出版社,2000.4张元林.积分变换M.北京:高等教育出版社(第四版),2003.5薛定宇.高等应用数学的MATLAB 求解M.北京:清华大学出版社,2004.6彭芳麟.数学物理方程的MATLAB 解法与可视化M.北京:清华大学出版社,2004.7梁昆淼.数学物理方法M.北京:高等教育出版社(第三版),1998.8杨华军.数学物理方法与计算机仿真M.北京:电子工业出版社,2006.9 陈育宁.数学物理方法.M.宁夏;人民教育出版社，200810张元林.积分变换M.北京:高等教育出版社(第四版),2003.专心-专注-专业