数列证明题型总结(教师版)附答案(共25页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上一、解答题 ：1在数列中，a11，an12an2n.()设bn，证明：数列是等差数列；()求数列的前n项的和Sn.【答案】()因为bn1bn1所以数列bn为等差数列()因为bnb1(n1)×1n所以ann·2n1所以Sn1×202×21n×2n12Sn1×212×22n×2n两式相减得Sn(n1)·2n12在数列an中，a1，an1an.()设bn2nan，证明：数列bn是等差数列；()求数列an的前n项和Sn.【答案】()由an1an，得2n1an12nan1bn1bn1，则bn是首项b11，公差为1的等差数列故bnn，an.()Sn1×2×3×(n1)×n×Sn1×2×3×(n1)×n×两式相减，得：Sn1Sn23数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足4Sn(an1)2(nN*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；()设bnan2an(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.【答案】()n1时，4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2aa2an2an1aa2an2an10(anan1)(anan1)20an>0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1(nN*)()由()知bnan2an(2n1)22n1Tnb1b2bn(121)(323)(2n1)22n113(2n1)(212322n1)n2n24数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2an1(nN*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；()设bnan·2n(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.【答案】()由2an1(nN*)可以得到4Sn(an1)2(nN*) n1时，4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2aa2an2an1aa2an2an10(anan1)(anan1)20an>0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1(nN*)()由()知bnan·2n(2n1)·2nTn(1·21)(3·22)(2n3)·2n1(2n1)·2n则2Tn(1·22)(3·23)(2n3)·2n(2n1)·2n1两式相减得：Tn(1·21)(2·22)(2·2n)(2n1)·2n12·2(2n1)·2n1(32n)·2n16Tn(2n3)·2n16(或Tn(4n6)·2n6)5已知数列an，其前n项和为Snn2n(nN*)()求a1，a2；()求数列an的通项公式，并证明数列an是等差数列；()如果数列bn满足anlog2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】()a1S15，a1a2S2×22×213，解得a28.()当n2时，anSnSn1n2(n1)2n(n1)(2n1)3n2.又a15满足an3n2，an3n2(nN*)anan13n23(n1)23(n2，nN*)，数列an是以5为首项，3为公差的等差数列()由已知得bn2an(nN*)，2an1an238(nN*)，又b12a132，数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列Tn(8n1)6已知函数f(x)，数列an满足：a1，an1f(an)()求证：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；()记Sna1a2a2a3anan1，求证：Sn<.【答案】证明：()an1f(an)，即，则成等差数列，所以(n1)×(n1)×，则an.()anan1·8，Sna1a2a2a3anan188<.7已知数列an的前三项依次为2，8，24，且an2an1是等比数列()证明是等差数列；()试求数列an的前n项和Sn的公式【答案】()a22a14，a32a28，an2an1是以2为公比的等比数列an2an14×2n22n.等式两边同除以2n，得1，是等差数列()根据()可知(n1)×1n，ann·2n.Sn1×22×223×23n·2n，'2Sn1×222×23(n1)·2nn·2n1.'得：Sn222232nn·2n1n·2n12n12n·2n1，Sn(n1)·2n12.8已知数列an的各项为正数，前n项和为Sn，且满足：Sn(nN*)()证明：数列S是等差数列；()设TnSSSS，求Tn.【答案】()证明：当n1时，a1S1，又Sn(nN*)，S1，解得S11.当n2时，anSnSn1，Sn，即SnSn1，化简得SS1，S是以S1为首项，1为公差的等差数列()由()知Sn，TnSSS，即Tn1·2·(n1)n·.'×得Tn1·(n1)n·.'得Tnn·n·1n·1，Tn2.9数列an满足a11，an1·1(nN*)，记Snaaa.()证明：是等差数列；()对任意的nN*，如果S2n1Sn恒成立，求正整数m的最小值【答案】()证明：4(n1)×44n3，即是等差数列()令g(n)S2n1Sn.g(n1)g(n)<0，g(n)在nN*上单调递减，g(n)maxg(1).恒成立m，又mN，正整数m的最小值为10.10已知数列an是首项a1，公比为的等比数列，设bn15log3ant，常数tN*.()求证：bn为等差数列；()设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck1，ck，ck2成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由【答案】()证明：an3，bn1bn15log35，bn是首项为b1t5，公差为5的等差数列()cn(5nt)·3，令5ntx，则cnx·，cn1(x5)·3，cn2(x10)·3，若ccn1cn2，则(x·3)2(x5)·3·(x10)·3，化简得2x215x500，解得x10或(舍)，进而求得n1，t5，综上，存在n1，t5适合题意11在数列 an中，a11，an12an2n1.()设bnan1an2，(nN*)，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的通项an.【答案】()由已知an12an2n1得an22an12n3，得an2an12an12an2设an2an1c2(an1anc)展开与上式对比，得c2因此，有an2an122(an1an2)由bnan1an2，得bn12bn，由a11，a22a135，得b1a2a126，故数列bn是首项为6，公比为2的等比数列()由()知，bn6×2n13×2n则an1anbn23×2n2，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(3×212)(3×222)(3×2n12)13(222232n1)2(n1)an3×2n2n3，当n1时，a13×212×13651，故a1也满足上式故数列an的通项为an3×2n2n3(nN*)12在数列an中，a1，anan1×(nN*且n2)()证明：an是等比数列；()求数列an的通项公式；()设Sn为数列的前n项和，求证Sn<.【答案】()由已知，得是等比数列()设Anan，则A1a11，且q则An()n，an，可得an()Sn()()()·<13已知数列an满足a12，an12ann1(nN*)()证明：数列ann是等比数列，并求出数列an的通项公式；()数列bn满足：bn(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【答案】()证法一：由an12ann1可得an1(n1)2(ann)，又a12，则a111，数列ann是以a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann1×2n1，an2n1n.证法二：2，又a12，则a111，数列ann是以a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann1×2n1，an2n1n.()bn，bnSnb1b2bn2·()2n·()nSn()22·()3(n1)()nn·()n1由，得Sn()2()3()nn·()n1n·()n11(n2)()n1，Sn2(n2)()n.14在数列an中，a11，2nan1(n1)an，nN*.()设 bn，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的前n项和Sn.【答案】()因为×，所以bn是首项为1，公比为的等比数列()由()可知，即an，Sn1，上式两边乘以，得Sn，两式相减，得Sn1，Sn2，所以Sn415设数列an的前n项和为Sn，且Sn(1)an，其中1，0.()证明：数列an是等比数列；()设数列an的公比qf()，数列bn满足b1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求数列bn的通项公式【答案】()由Sn(1)anSn1(1)an1(n2)，相减得：ananan1，(n2)，数列an是等比数列()f()，bn1，是首项为2，公差为1的等差数列；2(n1)n1，bn.16在等差数列an中，a1030，a2050.()求数列an的通项an；()令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；()求数列nbn的前n项和Tn.【答案】()由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组，解得a112，d2.an12(n1)·22n10.()由()得bn2an1022n101022n4n，4bn是首项是4，公比q4的等比数列()由nbnn×4n得：Tn1×42×42n×4n4Tn1×42(n1)×4nn×4n1相减可得：3Tn4424nn×4n1n×4n1Tn17已知an是等差数列，其前n项和为Sn，已知a311，S9153，()求数列an的通项公式；()设anlog2bn，证明bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】() 解得：d3，a15, an3n2 ()bn2an，2an1an238，bn是公比为8的等比数列又b12a132, Tn(8n1)18在数列an中，a13，an2an1n2(n2，且nN*)()求a2，a3的值；()证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；()求数列an的前n项和Sn.【答案】()a13，an2an1n2(n2，且nN*)，a22a1226，a32a23213.()证明：2，数列ann是首项为a114，公比为2的等比数列ann4·2n12n1，即an2n1n，an的通项公式为an2n1n(nN*)()an的通项公式为an2n1n(nN*)，Sn(2223242n1)(123n)2n2.19已知数列an满足a12，an13an2(nN*)()求证：数列an1是等比数列；()求数列an的通项公式【答案】()证明：由an13an2得an113(an1)，从而3，即数列an1是首项为3，公比为3的等比数列()由()知，an13·3n13nan3n1.20已知数列an满足a12，an14an2n1，Sn为an的前n项和()设bnan2n，证明数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；()设Tn，n1，2，3，证明：i<.【答案】()因为bn1an12n1(4an2n1)2n14(an2n)4bn，且b1a124，所以bn是以4为首项，以q4为公比的等比数列所以bnb1qn14n，所以an4n2n.()Sna1a2an(4424n)(2222n)(4n1)2(2n1)(2n1)23·2n12(2n11)(2n12)(2n11)(2n1)，所以Tn××，因此i<.21已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*)()证明：数列an是等比数列；()若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式【答案】()证明：由Sn4an3，n1时，a14a13，解得a11.n2时，Sn14an13，所以当n2时，anSnSn14an4an1，得anan1.又a110，所以an是首项为1，公比为的等比数列()因为an，由bn1anbn(nN*)，得bn1bn.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)231(n2)，当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为bn31.22在各项均为负数的数列an中，已知点(an，an1)(nN*)在函数yx的图象上，且a2·a5.()求证：数列an是等比数列，并求出其通项；()若数列bn的前n项和为Sn，且bnann，求Sn.【答案】()证明：因为点(an，an1)(nN*)在函数yx的图象上，所以an1an，即，故数列an是公比q的等比数列因为a2a5，则a1q·a1q4，即a，由于数列an的各项均为负数，则a1，所以an.()由()知，an，bnn，所以Sn3·.23已知数列an的前n项和为Sn，且Sn3·2n12，bnan1.()求数列an的通项公式；()证明：数列bn是等比数列，并求其前n项和Tn.【答案】()Sn3·2n12，当n2时，anSnSn13·2n123·n223·2n2，当n1时，a11不满足上式an()bnan13×2n1，b1a23，nN*.2，nN*，数列bn是首项为3，公比为2的等比数列；由等比数列前n项和公式得Tn3×2n3.24设数列an的前n项和为Sn，已知a15，an1Sn3n(nN*)()令bnSn3n，求证：bn是等比数列；()令cn，设Tn是数列cn的前n项和，求满足不等式Tn>的n的最小值【答案】()证明：b1S1320，Sn1SnSn3n，即Sn12Sn3n，20，所以bn是等比数列()由()知bn2n，则cn，Tn，Tn>，n>2 011，即nmin2 012.25已知数列an满足：a11，an1(nN*)()求证：数列是等比数列；()若1，且数列bn是单调递增数列，求实数的取值范围【答案】()证明：1，12，120，所以数列是等比数列()12n，an，12n，bn12n(n)，bn2n1(n1)(n2)，b1适合，所以bn2n1(n1)(nN*)，由bn1>bn得2n1(n1)>2n(n)，<n2，<(n2)min3，的取值范围为|<326已知数列an中，a12，a24，an13an2an1(n2，nN*)()证明：数列an1an是等比数列，并求出数列an的通项公式；()记bn，数列bn的前n项和为Sn，求使Sn>2 010的n的最小值【答案】()an13an2an1(n2)，(an1an)2(anan1)(n2)a12，a24，a2a120，anan10，故数列an1an是首项为2，公比为2的等比数列，an1an(a2a1)2n12n，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a12n12n22n321222n(n2)又a12满足上式，an2n(nN*)()由()知bn222，Sn2n2n2n22n2.由Sn>2 010得：2n2>2 010，即n>1 006，因为n为正整数，所以n的最小值为1 006.27已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an（I）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足bn=log2（an+2），求数列的前n项和Tn【答案】（I）证明：由Sn+2n=2an，得Sn=2an2n，当nN*时，Sn=2an2n，当n=1时，S1=2a12，则a1=2，当n2时，Sn1=2an12（n1），得an=2an2an12，即an=2an1+2，an+2=2（an1+2），an+2是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列，（）解：，bn=n（n+1），=1+=1=【解析】考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 综合题分析： （I）由Sn+2n=2an，得Sn=2an2n，由此利用构造法能够证明数列an+2是等比数列，并求出数列an的通项公式an（）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列的前n项和Tn28数列an中，a11，当n2时，其前n项的和Sn满足San(Sn1)()证明：数列是等差数列；()设bnlog2，数列bn的前n项和为Tn，求满足Tn6的最小正整数n.【答案】()San(Sn1)，S(SnSn1)(Sn1)(n2)，SnSn1Sn1Sn，即1，是1为首项，1为公差的等差数列()由()知Sn，bnlog2，Tnlog2log26，(n2)(n1)128，nN*，n10，所以满足Tn6的最小正整数为1029已知数列an的首项a1=，其中nN+（）求证：数列为等比数列；（）记Sn=，若Sn100，求最大的正整数n【答案】（）证明：，N+），数列为等比数列（）解：由（）可求得=，若Sn100，则n+1，nmax=99【解析】考点：数列递推式；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）利用数列递推式，变形可得，从而可证数列为等比数列；（）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n30在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.()证明数列ann是等比数列；()设数列an的前n项和Sn，求Sn14Sn的最大值【答案】()证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列()由()可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.所以数列an的前n项和Sn.Sn14Sn4(3n2n4)，故n1，最大0.专心-专注-专业