参数方程与极坐标模块常见题型全归纳(共34页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上参数方程与极坐标模块常见题型全归纳目录一、第一问破解方法：1参数方程化普通方程的方法 （1）代入消参法与和差消参法（2）恒等式消参法与平方消参法;2应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）曲线的直角坐标方程化为极坐标方程;二、第二问破解方法：3坐标系与参数方程的最值（取值范围）问题的求解方法（1）应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）；（2）化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值（取值范围）问题；（3）运用圆的几何特性求最值（取值范围）问题；4直线的标准式参数方程中参数的几何意义的应用（1）以定点为起点的线段的四则运算求值问题；（2）参数形式的弦长公式的运用；5极坐标方程中的几何意义的应用（1）以原点为起点的线段的四则运算求值问题；（2）应用的几何意义表示两点间距离；6剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化“数形结合思想”的运用（1）考查圆特有的的弦长公式；（2）通过图形关系分析代数关系；7求曲线的极坐标方程（1）应用平面直角坐标系内求轨迹方程的基本思想求极坐标方程；（2）运用利用极坐标和直角坐标的特殊关系求极坐标方程.1 参数方程化普通方程的方法1.1 代入消参法与和差消参法【例1】直线（为参数）的普通方程为_.【解析】方法一：代入消参法由得，代入整理得.方法二：和差消参法将乘以与作差可得. 【评注】代入消参法与和差消参法源于我们初中学过的解方程组的思想，其目的在于消去参数.【变式1】潜在的参数范围的影响曲线（为参数）的普通方程为_.【解析】由消参法可得，因为，故，所以曲线（为参数）的普通方程为.【变式2】曲线（为参数）的普通方程为_. 【解析】，所以，故曲线（为参数）的普通方程为【变式3】注意和消参的区别曲线（为参数）的普通方程为_. 【解析】，所以，故曲线（为参数）的普通方程为.【变式4】只有一个式子有参数直线（为参数，）的普通方程为_. 【解析】,所以，故直线（为参数，）的普通方程为.1.2 恒等式消参法与平方消参法【例2】参数方程（为参数）的普通方程为_.【解析】由得因为，故参数方程（为参数）的普通方程为.【评注】本题采用这一恒等式消参，高中阶段常用的恒等式还有： （1）；（2）；（3）.【变式1】给参数范围的消参参数方程（为参数，）化为普通方程为_.【解析】由可知，故该参数方程的普通方程为【变式2】平方消参法参数方程（为参数）的普通方程为_.【解析】方法一：由得，同理，故该参数方程的普通方程为.方法二：由得又，故该参数方程的普通方程为.【变式3】注意隐藏的的范围参数方程（为参数）的普通方程为_.【解析】因为，所以，又因为，故，所以参数方程（为参数）的普通方程为.【变式4】恒等式消参法与平方消参法对比参数方程（为参数）的普通方程为_.【解析】方法一：，由得，因为，故该参数方程的普通方程为. 方法二：由平方得，两式作差可得，又，故该参数方程的普通方程为.2 应用极坐标的基本定义进行极坐标与直角坐标的互化2.1 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程【例3】只有和的极坐标方程将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）；【解析】因为，所以，又，故直角坐标方程为. （2）. 【解析】因为，所以，又，故直角坐标方程为.【评注】在进行极坐标与直角坐标的互化时，下列公式必不可少：（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式1】极坐标方程中的和在“=”的同侧将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）；【解析】由和得该曲线的直角坐标方程为.（2）；【解析】因为，所以，由和得该曲线的直角坐标方程为.【变式2】极坐标方程中的和在“=”的两侧将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）； 【解析】由得，又因为，所以该曲线的直角坐标方程为. （2）；【解析】由得，又因为，所以该曲线的直角坐标方程为.（3）. 【解析】由得，即，又因为，所以该曲线的直角坐标方程为.2.2 曲线的直角坐标方程化为极坐标方程【例4】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（1）；【解析】将，代入得，故所求极坐标方程为. （2）；【解析】将,，代入得,故所求极坐标方程为. 【评注】将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程只需将,，代入直角坐标方程适当化简即可. 【变式1】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 （1）； 【解析】可化为将,，代入上式得. （2）.【解析】将，代入得,即.3 坐标系与参数方程的最值问题（取值范围）的求解方法该题型是高考中的常考题型，在各类模拟试卷中也频繁出现，求解此类最值问题关键在于巧妙的构建不等关系，依据高中阶段建立不等关系的常用方法(利用三角函数有界性求取值范围，利用二次函数的单调性求最值，利用圆的几何对称性求最值)可分为三种类型求解.3.1 应用曲线的参数方程进行三角代换求最值（取值范围）【例5】在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为为参数）.（I）求过椭圆的右焦点，且与直线 (为参数）平行的直线的普通方程；（II）求椭圆的内接矩形面积的最大值.【解析】（I）由椭圆的参数方程为参数）化为普通方程为，故椭圆的右焦点为.直线 (为参数）化为普通方程为，因为直线过椭圆的右焦点，且与直线平行，所以由直线的点斜式方程得，故直线的方程为.（II）因为椭圆的参数方程为为参数），不妨设，则椭圆的内接矩形面积故椭圆的内接矩形面积的最大值为.【评注】本题关键在于利用椭圆的参数方程将解析几何的最值问题转化为三角函数的最值问题进行求解，其中利用椭圆的内接矩形的对称性巧妙转化四个小矩形是本题的思维难点.本题第二问可推广为：椭圆的内接矩形的最大面积为.【变式1】恒成立问题转化为求最值已知点是圆上的动点.（I）求的取值范围；（II）若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（I）将化为圆的标准方程得，其参数方程为（为参数），故，所以（）,因为，所以的取值范围为.（II）恒成立等价于恒成立.，所以的最大值为，所以.【变式2】非特殊角求点已知曲线的参数方程为： （为参数）， 曲线的参数方程为：（为参数）.（I）化曲线，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（II）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值及此时点坐标. 【解析】（I）曲线的普通方程为，它表示以点为圆心，为半径的圆；曲线的普通方程为，它表示焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆. （II）时，中点，直线（为参数）化为普通方程为，故点到直线的距离 (其中，)，故当时，即（）时，取得最小值，此时，从而当时，取得最小值，此时.【例6】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（I）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（II）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的坐标.【解析】（I）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为.曲线的直角坐标方程为.（II）由得代入到得曲线，于是由点在曲线上得，从而可设点，则，故时，即时，取得最小值1，此时（），则，或，.所以当点的坐标为或时，取得最小值1.【评注】坐标变换一直深受高三一线出卷老师的喜爱，试想在控制好试题难度的情况下增加题目的知识维度何乐而不为呢？求解此类问题时，只要我们能够正确的理解坐标变换的含义，问题自然会迎刃而解.【变式1】参数方程下的坐标变换已知曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到曲线.（I）求曲线的普通方程；（II）已知点，曲线与轴负半轴交于点，点为曲线上任意一点， 求的最大值.【解析】（I）因为曲线的参数方程为（为参数），故曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为.（II）曲线与轴负半轴交于点，故，因为点为曲线上任意一点，所以可设，又因为点，所以 ，其中.故当时，取得最大值.3.2 化归为二次函数，运用二次函数的特性求最值【例7】（2015·陕西高考卷）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为（I）写出圆的直角坐标方程；（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标【解析】（I）将两边同乘以可得，又，可得圆的直角坐标方程为，即 .（II）因为直线的参数方程为（为参数），不妨设，又，则故当时，取最小值，此时点的直角坐标为.【评注】题目中说为直线上一动点，动点从何而得？本题告诉我们一个重要的解题经验需要动点坐标时我们可以向曲线的参数方程“借”.【变式1】抛物线相关的最值问题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；（II）求曲线上的点与曲线上的点的最小距离. 【解析】（I）由曲线的参数方程（为参数）得，即，考虑到,故，所以曲线的直角坐标方程为，.由曲线的极坐标方程得曲线直角坐标方程为.（II）不妨设曲线上一点，其中，则点到曲线的距离考虑到，所以当时，.又易知曲线上的点与曲线上的点的最小距离等于曲线上的点与曲线的距离的最小值，故所求最小距离为.【评注】本题很容易忽视这一隐含条件，本题给了我们一个解题经验：与抛物线上的点相关的最值问题往往可转化为二次函数进行求解.【变式2】已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线的直角坐标方程；（II）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的最小值.【解析】（I）因为曲线的极坐标方程为，所以，即，所以，化简得，所以曲线的直角坐标方程为.（II）因为（为参数）所以曲线的普通方程为.因为为曲线上的点，为曲线上的点，所以的最小值等于到直线距离的最小值.设，则到直线的距离，所以的最小值为.【变式3】由三角函数转化为二次函数求最值已知某圆的极坐标方程是.（I）求圆的普通方程和参数方程；（II）已知圆上一动点，求的最大值和最小值.【解析】（I）由圆的极坐标方程化为直角坐标方程可得，即.化为参数方程得（为参数）.（II）,令，则，所以，.故当时，取得最小值；当时，取得最大值.【评注】第二问为什么会想到将此题化为二次函数求最值呢？事实上是因为“幂次”暴露了本题的求解思路，题目中的是1次幂，而是2次幂，具有典型二次函数结构，本题也给我们提供了一条换元经验和一个解题技巧.换元经验：遇到含有和的函数通常作如下换元：令，则,.解题技巧：三角函数求最值用什么方法，要看幂次说话，例如，各项幂次均相同，可降幂结合引入辅助角公式化为三角函数最值问题，而这类含有2次幂，1次幂的函数，则化为二次函数求最值. 【变式4】设圆的极坐标方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系过圆上的一点作垂直于轴的直线，设与轴交于点，向量（I）求动点的轨迹方程；（II）设点，求的最小值【解析】（I）因为圆的极坐标方程为，所以圆直角坐标方程为.由已知可得，设，则由得故 因为在圆上，所以动点的轨迹方程为.（II）根据（I）的结论，可设点的坐标为，其中为参数，又点，所以 .故的最小值为.3.3 运用圆的几何对称特性求取值范围【例8】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线的直角坐标方程；（II）若分别是曲线和上的任意一点，求的最小值.【解析】（I）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得，即.（II）易知圆的圆心，设，所以，所以当时，取得最小值，且.故所求.【评注】本题不仅用到了前面提到二次函数求最值，而且还使用了几何对称思想，即利用圆的对称性求最值.运用圆的几何对称特性求取值范围时常用到以下结论：结论一：已知圆的半径为，圆上一点到与其相离的直线的距离为，圆心到该直线的距离为，则，.结论二：已知圆的半径为，圆上一点到圆外一点的距离为，圆心到点的距离为，则，.结论三：设圆上一点到圆上一点的距离为，两圆半径分别为，两圆圆心之间的距离为，若两圆相离，则，.【变式1】两圆上的点的最大、最小距离直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点，分别在曲线(为参数）和曲线上，则的最小值为_【解析】由得圆心为，由得圆心为，故由平面几何知识知的最小值为.【例9】已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为（I）求圆心的直角坐标；（II）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值【解析】（I）因为圆的极坐标方程为，由两角和差公式得，等式两边同时乘以得，将上式化为直角坐标方程得，所以圆的直角坐标方程为，所以圆心的直角坐标为.（II）直线的参数方程是（是参数），则直线普通方程为.所以圆心到直线的距离，所以直线上的点向圆引切线长的最小值是.【评注】圆的几何最值问题围绕“圆心”思考，往往会让问题柳暗花明.本题第二问直接求解很难入手，若考虑直线上的点到圆心的距离的最小值，则问题迎刃而解.【变式1】在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，轴的正半轴为极轴，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.(I) 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；(II) 设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围. 【解析】(I)曲线的方程为，化为直角坐标方程为即.由曲线的参数方程（为参数）化为普通方程为.(II)由(I)可知曲线分别为圆和直线.过曲线的圆心作直线的垂线，此时两切线所成角最大，即最小，由点到直线距离公式可知，则，所以.考虑到，且，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围为.4 直线的参数方程中参数的几何意义的应用在近几年的高三模拟试题中，大量涌现出对参数的几何意义的考查，试题花样也层出不穷，要想解好此类问题，关键在于要熟悉基本概念和此类问题的解题的程序.直线参数方程的定义：直线的参数方程为：（为参数），其中为直线的倾斜角，直线必过定点.在直线的参数方程中，表示直线上的动点到定点的距离.4.1 以定点为起点的线段的四则运算求值问题；【例10】 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（I）求圆的直角坐标方程；(II)设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.【解析】（I）由得即(II)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，所以由韦达定理可得，故.又易知点在直线上，故由的几何意义得：.【评注】本题没有将直线的参数方程化为普通方程，而是从直线的参数方程的视角入手，保留直线的参数进行代数运算，这里采用的方法即是的几何意义的运用.使用此方法我们需要掌握以下知识点：已知直线经过定点，直线与曲线相交于点，两点，若点，所对应的参数分别为，则有：弦长；若定点为弦的中点，则；若弦的中点为，则点对应的参数.【变式1】运用参数几何意义求中点坐标在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设圆与直线相交于不同两点，且点.（I）求线段的中点的极坐标；(II)求的值. 【解析】（I）由圆的极坐标方程为得 ，将直线的参数方程代入式可得，由于，所以由韦达定理得，所以.所以线段的中点对应的参数，代入直线参数方程可得点的直角坐标为，故点的极坐标为.(II) 考虑到点在直线上，由参数的几何意义可知，因为，所以.【变式2】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：交于、两点.（I）求线段的长度；(II) 极坐标系与直角坐标系中，取相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.【解析】（I）将直线的参数方程为（为参数）化为标准式得（为参数），代入曲线得，设、两点对应的参数分别为，由韦达定理得，所以.(II) 点的极坐标为化为直角坐标得，所以点在直线上，线段中点的参数，由参数的几何意义可知，点到线段中点的距离为.【变式3】的几何意义与三角函数综合运用在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.(I)写出直线的参数方程；并将曲线的方程化为直角坐标方程；( II)若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围【解析】(I)因为是过定点且倾斜角为的直线，所以直线的参数方程为（为参数）.因为曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程为，即.( II)将直线的参数方程代入整理得则有所以，又，所以，所以可知，.又点在直线上，所以.因为，所以，所以.【例11】极坐标系与直角坐标系中，取相同的长度单位，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（I）求曲线的直角坐标方程；（II）设直线与曲线交于两点，与轴的交点为，求的值【解析】（I）曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.（II）因为直线的参数方程为（为参数），易得直线与轴的交点为，将直线的参数方程代入得,由韦达定理得，所以由参数的几何意义可知.【评注】运用“直线参数的几何意义”这一解题方法时，往往需要韦达定理的辅助才能更好的进行运算.使用韦达定理时我们应熟练以下代数变形：（1）；（2）；（3）.4.2 参数形式的弦长公式的运用；【例12】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知过点的直线的参数方程为：（为参数），曲线，且直线与曲线分别交于两点.(I)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(II)若成等比数列，求的值【解析】(I)曲线，故，所以曲线的直角坐标方程为，.因为直线的参数方程为：（为参数），所以消参得直线的普通方程为.(II)将直线的参数方程代入抛物线方程得.由韦达定理得，.（*）由参数的几何意义可知，.因为成等比数列，所以，即，又由知，所以变形得，将（*）代入化简得.【变式1】已知曲线 (为参数)， (为参数) (I)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(II)过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于两点，求.【解析】(I)所以曲线为圆心是，半径是的圆曲线为中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，短轴长是的椭圆 (II)曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以.5 极坐标方程中的几何意义的应用在求解一类含有以原点为起点的线段的代数式时，如果继续使用传统的解析几何技巧，则往往运算量大，思维过程复杂.这时我们不妨使用的几何意义进行求解，可以让问题得到简洁、优美的解答.5.1 以原点为起点的线段的四则运算求值问题【例13】极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，与曲线分别交异于极点的四点.（I）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；（II）求的值.【解析】（I）因为曲线的极坐标方程为，故曲线的直角坐标方程为.因为曲线的极坐标方程为，故曲线的直角坐标方程为.因为曲线关于曲线对称，所以，曲线的直角坐标方程为.（II）因为射线分别与曲线分别交异于极点的四点，所以，所以.故所求的值为.【评注】第二问的求解思路是如何想到的呢？事实上，就是最好的暗示.在极坐标系中，以为起点的线段均可写成的形式，这正是的几何意义，即值对应以为起点的线段长.【变式1】极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数，射线与曲线交于极点外的三点.（I）求证：；（II）当时，两点在曲线上，求与的值【解析】（I）设三点的极坐标为，因为三点在曲线上，所以，所以，.故.（II）由曲线的参数方程可知曲线是以为倾斜角且过定点的直线.当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，直线的斜率，所以直线的普通方程为，因为直线过点，所以，解得.因为，所以.【变式2】运用的几何意义求轨迹方程已知圆:,直线：，以为极点，轴的正半轴为极轴,取相同单位长度建立极坐标系.(I）将圆和直线的方程化为极坐标方程；(II)点是上的点，射线交圆于点，又点在上满足，当点在上移动时，求点轨迹的极坐标方程.【解析】（I）将，代入圆和直线的直角坐标方程得极坐标方程分别为圆：，直线：.(II)设，的极坐标分别为，则由得，又，所以，故点轨迹的极坐标方程为.【例14】已知椭圆:（为参数）上，是上的动点，且满足（为坐标原点），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.（I）求线段的中点的轨迹的普通方程；（II）利用椭圆的极坐标方程证明为定值. 【解析】（I）点在椭圆:（为参数）上，则.因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为，设点的坐标为，则由点为线段的中点得，所以通过消参即得点的轨迹的普通方程为.（II）椭圆:（为参数）的普通方程为，则极坐标方程为，所以.因为，不妨设，则因为，两点在椭圆上，所以，所以.【评注】这一步代数变形是突破此类问题重要技巧，只有当极坐标方程中的和调整在等号两侧时，才能运用的几何意义进行求解.【变式1】已知曲线：（为参数）与直线：（为参数）有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系（I）求曲线的普通方程；（II）若点在曲线上，求的值【解析】（I）因为直线的参数方程是（为参数），故直线的普通方程为，与轴的交点为.又曲线的参数方程是（为参数），则普通方程为，代入可得，所以曲线的普通方程.（II）曲线的极坐标方程为，所以.又点在曲线上，所以 .5.2 应用的几何意义表示两点间距离【例15】（2015·新课标II高考卷）在直角坐标系中,曲线 （为参数,且）,其中,在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线，. （I）求与交点的直角坐标；（II）若与相交于点,与相交于点B,求最大值.【解析】（I）曲线化为直角坐标方程为，曲线化为直角坐标方程为，联立方程组得或，所以与交点的直角坐标为.（II）曲线 （t为参数,且）,其中,则曲线是经过点的直线，不妨设曲线极坐标方程为，因为与相交于点,与相交于点B，曲线，. 故，（当时取等号）所以最大值为.【评注】极坐标下的两点间距离公式：设，则，特别地：其特殊情况当时，.【变式1】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，是曲线上的动点，点满足.（I）求点的轨迹曲线的参数方程；（II）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线，交于不同于原点的点，求.【解析】（I）设,则由条件知.由于点在曲线上，所以 即从而曲线的参数方程为（为参数）.（II）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为,所以.【变式2】（2015·新课标I高考卷）在直角坐标系中，直线:，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求，的极坐标方程；（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 【解析】（I）因为，分别代入直线:，圆：得的极坐标方程为，的极坐标方程为. （II）将代入得，解得=，=，因为的半径为，则的面积=.6 剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化数形结合思想的运用由于题目中所给曲线的参数方程或极坐标方程的几何特性一般较难直接分析，但如果将其化为普通方程或直角坐标方程时，则很容易分析.故剥去参数方程与极坐标的外壳，将图形关系代数化也是一种重要的求解技巧.6.1 考查圆的弦长公式【例16】已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 (I）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)圆，是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由【解析】由圆的参数方程为（为参数）消参得.由圆的极坐标方程为得，整理得.(II)圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.因为圆心距，,所以，所以圆，相交.因为两圆方程分别为，所以两圆公共弦所在直线方程为，所以圆心到公共弦所在直线的距离.故所求公共弦长为.【评注】本题关键在于分析图形关系，将问题代数化求解.同时本题用到了一个重要的知识点：已知圆：，圆：,则两圆公共弦所在直线的方程为：.【变式1】内接矩形注意对称性已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.（I）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（II）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积.【解析】（I）曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为.因为直线的参数方程为（为参数），消参得，即.（II）曲线是以为圆心，半径为的圆，则弦心距，弦长，故矩形的面积.6.2 通过图形关系分析代数关系【例17】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）当时，曲线和相交于两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.【解析】（I）曲线的参数方程为（为参数，），消去参数得：当时，曲线的普通方程为，即；（*）当时，曲线的普通方程为，易知此时（*）式仍然成立.故曲线的普通方程为.曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程得.（II）当时，曲线为，联立的方程消去得，由韦达定理得，所以，圆心的坐标为，即.故以线段为直径的圆的直角坐标方程为.【变式1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程.【解析】（I）曲线的参数方程为（为参数），则曲线的普通方程为.曲线的极坐标方程为，所以曲线的直角坐标方程为，即.（II）曲线的普通方程为，故曲线与轴负半轴的交点为，又点在直线： (为参数)上，则，代入直线的参数方程并消参得直线的普通方程.设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，则由题意可得，解得或.故所求的直线方程为或.7 求曲线的极坐标方程方法7.1 应用平面直角坐标系内求轨迹方程的基本思想求极坐标方程平面直角坐标系内求轨迹方程的一般步骤，主要有建系、设点、建立等量关系、转化成方程、化简、检验等五步，上述方法简称“五步法”.这种思想方法在求极坐标方程同样适应，而且成为典型而主要的方法.【例18】极点作直线与另一直线相交于点,在上取一点,使.求点的轨迹方程；【解析】(I)设动点的坐标为,的坐标为,则即为所求轨迹方程.【评注】求轨迹的极坐标方程首先要设坐标，然后要找等量关系，如，从而建立极坐标方程.【变式1】 已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程.【解析】由得，圆心，所以.因为半径垂直于切线，所以切线的倾斜角为，所以切线方程为.设是过点的圆的切线上的任一点，在直角中，则，因此.所以点的圆的切线的极坐标方程.【评注】本题求切线的极坐标方程就是按照求轨迹方程的五个步骤，第一步题目已经建立极坐标系，所以直接进入第二步：设点 ；然后进入关键步骤，即利用的几何意义，建立等量关系，而分别表示的数量和的度数则起到至关重要的作用，这是研究极坐标必须具备的意识问题.【变式2】设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解析：以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点，所以，将代入圆的极坐标方程，得. 所以点轨迹的极坐标方程为，它表示原心在点，半径为的圆. 【评注】本题求线段的中点的轨迹时，直接设了点极坐标，然后再通过点为线段的中点这条关系，即，将的坐标转移给拥有轨迹方程的相关点，这种思路就是相关点法或者叫坐标转移法.7.2运用利用极坐标和直角坐标的特殊关系求极坐标方程【例20】在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C ，半径，求圆C的极坐标方程.【解析】将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=，故圆C的方程为，再将C化成极坐标方程得，化简得，此即为所求的圆C的方程.【评注】上述解法中，先是建立直角坐标系，获得直角坐标方程后，再根据两者互化公式： 或 ，转化成极坐标方程，这也是求极坐标方程的一种较为方便的方法.专心-专注-专业