用基本不等式证题的技巧与策略(共5页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上用基本不等式证题的技巧与策略在使用基本不等式证明问题时，根据所证不等式的结构，常常需要配合一定的变形技巧与转化策略，才可以使用基本不等式把问题现举例说明如下一、凑项 在凑“和”或“积”为定值时，还需要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项例1 设a、b、c均为正数，且a + b + c = 1，求证： + +分析：考虑等号成立的条件时，必须注意a、b、c在问题中的对称地位，即只有a = b = c =时，才有可能达到最值，而此时4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=证明：=· ·，同理·，· + +·4(a + b + c) + 3 + 7 =当且仅当4a + 1 = 4b + 1 = 4c + 1=，即a = b = c =时，上式“=”号成立二、配项在使用基本不等式时，若能巧妙地添式配项，就可以把问题转化例2 已知a，a，a均为正数，且a+ a+ + a= 1，求证： + + + 证明：因a，a，a均为正数，故 + a， + a， + a 又因 + + + =( a+ a+ + a) =，所以，把以上各同向不等式相加，得： + + + +a+ a+ + a= 1 故 + + + 三、构造根据问题的整体结构，用基本不等式构造对偶式，然后经过某些运算，促使问题的转化与解决例3 已知a，a，a均为实数，且a+ a+ + a= A (A0)，a+ a+ + a= (nN，n2) ，求证：0a ( k =1，2，n) 证明：构造基本不等式如下：· a()+ a， · a()+ a，· a()+ a 将上述(n1)个同向不等式相加得：( a+ a+ + a)(Aa)+ a+ a + + a，即+a na2aA0，0a 同理可求得0a ( k =1，2，n) 四、平方通过平方运算，一可以把和(积)凑成定值，二可以把和(积)问题转化为积(和)问题例4 若a、b、cR+，a + b + c =3，求证： + +3证明：( + +)= 2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 +2 +2 + 22(a + b + c) + 3 + (2a + 1) + (2b + 1) + (2b + 1) + (2c + 1) + (2c + 1) + (2a + 1) = 6(a + b + c) + 9 = 27 +3五、引参通过巧妙地引入参数，把问题转化成基本不等式结构，使参数在用不等式证题过程中起到一个桥梁作用例5 已知a、b、cR+，a + b + c = 1,，求证： +4证明：引入待定正参数t ，t=(t+ 13a + 1) ，同理t=(t+ 13b + 1) ，t=(t+ 13c + 1) 。 + + 得：t( +)(3t+ 13a + 13b + 13c + 3) =t+ 8 t0 ， +t + 由于t0 ，则t +2= 3当且仅当t =，即t =时，式取等号，将t =代入得： +4 六、换元通过换元，把生疏的结构转化为基本不等式形式，使证题思路自然、简捷例6 已知a、b、c为ABC三边的长，求证：abc(a + bc)(b + ca)( c + ab)证明：设m = b + ca，n = c + ab，p = a + bc，则由三角形两边之和大于第三边，得m0，n0，p0，且a =， b =，c = 于是abc =····= mnp = (a + bc)(b + ca)( c + ab)七、配对根据已知不等式的某一边结构，给其配上一个与之对称的代数式，然后将两个代数式联立再使用基本不等式，完成不等式的证明例7 设a，a，a和b，b，b均为正数，且a+ a+ + a= b+ b+ + b ，求证： + + + ( a+ a+ + a)证明：设M = + + + ，给M配对：N = + + + 则MN = + + + = (ab) + (ab) + + (ab) = (a+ a+ + a)(b+ b+ + b) = 0 M = N 当注意到a+ b(a + b)和a+ a+ + a= b+ b+ + b得：M + N = + + + (a+ b) +(a+ b) + +(a+ b)=(a+ a+ + a) +(b+ b+ + b)= a+ a+ + a由M = N，所以 + + + ( a+ a+ + a)专心-专注-专业