高等代数考研真题--第一章-多项式(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第一章 多项式1、（清华00020分）试求7次多项式，使能被整除,而能被整除。2、（南航200120分）（1）设x22px+2x4+3x2+px+q，求p,q之值。（2）设f(x)，g(x)，h(x)Rx，而满足以下等式 （x2+1)h(x)+(x1) f(x)+ (x2) g(x)=0 （x2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x2+1f(x)，x2+1g(x)3、（北邮200212分）证明：xd 1xn1的充分必要条件是dn（这里里记号dn表示正整数d整除正整数n）。4、（北邮200315分）设在数域P上的多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，f(x),已知g1(x)f(x)，g2(x)f(x)， g3(x)f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)两两互素，则一定有g1(x)，g2(x)，g3(x)f(x) （2）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)互素，则一定有g1(x)g2(x)g3(x)f(x)5、（北师大200325分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证明P是素数当且仅当任取正整数a，b若pab则pa或pb。 6、（大连理工200312分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)g(x) h(x)可以推出f(x)g(x)，或者对某一正整数m，f(x)hm(x)。7、（厦门200416分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。若存在数使得f()=g()=0，则f(x)g(x)。8、（南航200430分）（1）设f(x)=x7+2x6 6x58 x4 +19x3+9x222x+8，g(x)=x2+x2，将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=Ck(x)g(x)k+ Ck-1(x)g(x)k-1+ + C1(x)g(x)+C0(x)其中次（Ci(x)）<次（g(x)）或Ci(x)=0，i=0,1, ,k。（15分 ）（2）设d(x)=( f(x)，g(x)，f(x)g(x)和g(x)h(x)。证明：f(x)g(x)d(x)h(x)。（15分）9、（北京化工大200520分）设f1(x)0，f2(x)，g1(x)，g2(x)是多项式，且g1(x)g2(x)f1(x) f2(x)，证明：若f1(x)g1(x), 则g2(x)f2(x)。10、（上海交大200515分）假设= （1）证明：存在实数c(0<c<1)，使得=0这里为的导函数；（2）在中将分解为不可约因式之积。11、（大连理工200510分）设f(x) ，g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P中，若f3(x)g3(x),则f(x)g(x)。12、（北航200110分）求一个次数最低的多项式，使其被x2+1除余x+1，被x3+x2+1除余x21。13、（北航200310分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x)f(x)，而h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。14、（南航200320分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：（1）x3整除f(x)；（2）x+3除f(x)的余数是4；（3）x+2除f(x)的余数等于x2除f(x)的余数。15、（北京科大200415分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x1)2整除，而f(x)1能被(x+1)2整除.16、（南航200320分）设ACn×n, f(x)，g(x)Cx，f(x)的次数大于0，g(x)是A的最小多项式。证明： (1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A)=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。17、（南航200535分）本题中等都是多项式。 （1）设ab，用（xa），（xb）除f(x)的余数分别为r1和r2 ，求用（xa）（xb）除f(x)的余式。(10分)(2)证明：若(f(x)，g(x)=d(x)，f(x)h(x)，g(x)h(x)则f(x)g(x)d(x)h(x)。(10分)（3）设f(x)= f1(x) f2(x)，次（f1(x)）>0，次（f2(x)）>0，且(f1(x) f2(x)=1。证明：若次（g(x)）<次(f(x)，且f2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得u(x) f1(x)+v(x) f2(x)= g(x)成立，且满足次(u(x)<次(f2(x)，次(v(x)<次(f1(x)。(15分)18、（北京科大200510分）求出所有的多项式f(x)，使得（x1)f(x+1) （x+2)f(x)0。19、（北交大200212分）多项式f(x)=x5+3x4+x3+x2+3x+1 g(x)=x4+2x3+x+2求(f(x)，g(x)和u(x)，v(x)，使u(x) f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x)20、（南航200220分）设f(x)=x44x3+5x22x2 ，g(x)=x3x2+2x2(1)已知1 i是f(x)的根，求f(x)的其余三个根 .(6分)（2）求u(x)，v(x)使u(x) f(x)+v(x)g(x) =(f(x)，g(x) 。(14分)21、（上海交大200212分）设f1(x)=a f(x)+b g(x)，g1(x)=c f(x)+d g(x)且0。证明(f(x)，g(x)= (f1(x)，g1(x)。22、（北理工200315分）设多项式h(x) ，f(x) ，g(x)有 f(x5) +xg(x5)+x2h(x5)=(x4+x3 x2+x+1)k(x) 证明：x1是h(x) ，f(x) ，g(x)的一个公因式。23、（重大200410分）证明：如果d(x)f(x)，d(x)g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。24、（北邮200418分）设多项式f(x) 0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x)=1，则(f(x)，g(x) h(x)= (f(x)，h(x)，问反之是否成立？25、（北理工200415分）给定不全为零的多项式f1(x)，f2(x)，f3(x)，证明：存在六个多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，h1(x)，h2(x)，h3(x)使=（f1(x)，f2(x)，f3(x)）这里（f1(x)，f2(x)，f3(x)）表示f1(x)，f2(x)，f3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。26、（北邮200518分）试问k为何值时，整系数多项式f(x)=x2+(k+6)x+4k+2和g(x)= x2+(k+2)x+2k的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x)。27、（北航200210分）证明当且仅当(f(x)，g(x)=1，(f(x)，h(x)=1时有(f(x)，g(x) h(x)=1。28、（西安交大200412分）证明：数域P上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的充要条件是存在P上的多项式u(x) ，v(x)，使得：u(x) f(x)+v(x)g(x)=1。29、（北京化工大200220分）设A是n级矩阵，是A的最小多项式，是多项式且其次数()1。证明：（1）若，则是退化矩阵，即=0；（2）若=（，），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则它们的秩相等：= ；（3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（，）=1。30、（北大200212分）对于任意非负整数n，令，证明31、（北理工200515分）设A为数域F上的n阶矩阵，f(x)，g(x)Fx，证明：如果d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)=0的解空间等于f(A)=0的解空间与g(A)=0的解空间的交集。32、（北交大200515分）设A为n阶方阵，g(x)是A的最小多项式，f(x)是次数大于零的任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。33、（东南200510分）设F一数域，多项式f(x)，g(x) Fx具有性质：当h(x)Fx且f(x)h(x)，g(x)h(x)时，必有f(x)g(x)h(x) 。证明：（f(x)，g(x)）=134、（重大200510分）设A为方阵，g()证明：f(A)可逆(f()，g()=135、（南开200015分）设f(x)是数域P上的多项式，这里n1；且设f(x)的一阶微商可以整除f(x)。证明f(x)=a(xb)n，a,bP，a0。36、（南开200110分）设是复数域上首项系数为1的n阶多项式，如 =(b1) (b2)，b1b2且b1是的k重因式（这里是的一阶微商），问=？为什么？37、（清华199816分）试求多项式=x3+px+q的判别式D()(即用的系数表出D()。判别式定义为D()=(x1x2)2(x1x3)2(x2x3)2；x1 ，x2 ，x3为的复根，p,q为实数)38、（北航200110分）用线性代数方法证明：若一个n次多项式P()在n+1个互不相等的数， ， ，处取值为0，则P()039、（北大200010分）设f(x)和p(x)都是首项系数为1的整系数多项式，且p(x)在有理数Q上不可约，如果f(x)与p(x)有公共根，证明:(1)在Qx中，p(x)整除f(x)；(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x)，使得f(x)= g(x) p(x)40、（北航200010分）设p(x)是一个整系数多项式，又知p(0)及p(1)都是奇数，证明p(x)=0没有整数根。41、（浙大200310分）设f(x)是一个整系数多项式。证明存在一个偶数a及一个奇数b，使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根。42、（北交大200315分）设f(x)复数域上次数大于0的多项式，且f(x)f(xn)，n是大于1的整数。证明：f(x)的根只能是零或单位根。43、（大连理工200424分）设R,Q分别表示实数域，有理数域，f(x)，g(x)Qx.(1)证明：如果在Rx中有g(x)f(x)，则在Qx中，也有g(x)f(x)。(2)证明：f(x)与g(x)在Qx中互素当且仅当f(x)，g(x)在Rx中互素。(3)证明：设f(x)是Qx中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。44、（重大200515分）设f(x)=x3+6x2+3px+8，试确定P的值使f(x)有重根并求其根。45、（清华200120分）（1）叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦（Eisenstein）判别法”。 （2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。46、（北航200420分）设f()= 是一个整系数多项式，如果存在一个素数P，使得（1）p不能整除(2)p， ，（3）p2不能整除则此多项式在有理数域上是不约的。47、（北京化工大200410分）设是两两互异的整数。 证明：在Q中不可约，这里Q表示有理数域。48、（东南200415分）设互不相同的整数，（1）求证在有理数域Q上不可约。 （2）对于整数1，问在有理数域Q上是否可约，为什么？49、（浙大200410分）设整系数多项式的次数是或（其中为正整数）。证明：如果有个不同的整数使取值或1则在有理数域上不可约。（提示：用反证法）50、（北师大200510分）试用元初等对称多项式表达下列多项式：（1），（2），此处表示对脚标进行所有可能的元置换后对不同的项求和（3）51、（西安交大200512分）求由下述行列式所表示的一元多项式的最高次幂项：其中，为数域P中的数。52、（西安电子科大200512分）设是（）个多项式，证明：如果多项式能被整除，则每个的所有系数之和为零。53、（华南师大200415分）设c是复数，并且是有理数Q上的一个非零多项式的根，令J=。证明J中存在唯一的首项系数为1的多项式，使得对于任意J，54、（华南师大200315分）设是数域F上的多项式，是一正整数。证明：55、（华南师大200415分）设是数域F上的多项式， 是其标准分解式（是首项系数为1不可约多项式），是的导数。证明：（1） （2）无重因式当且仅当=156、（华南师大200212分）设，是数域F上的多项式， ，证明：是的最大公因式当且仅当 57、（华南师大199920分）（1）设0，证明：的充要条件； （2）设是数域F上的多项式，证明的充要条件是且58、（华南师大200515分）令f(x)与g(x)是数域F上的多项式， a,b,c,dF且adbc0，证明(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x)/=(f(x),g(x)59、（华南师大199815分）设F是数域，证明：若，则必有60、（华南师大199810分）求多项式的有理数。61、（华南师大200020分）（1）设是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数，（2）设是一个实数，证明：多项式最多只有一个实根（不计重数）62、（华南师大199710分）设，为整数， 如果为奇数，证明：无正整根。专心-专注-专业