分数阶积分算子的谱半径及其应用(共7页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上分数阶积分算子的谱半径及其应用基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（003）；国家自然科学基金（F）；湖北省自然科学基金重点项目（2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（z）作者简介：冯育强（1975-），男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与应用. E-mail: yqfeng6冯育强，朱兴，王蔚敏（武汉科技大学理学院，武汉 ）摘要：本文利用Gelfand公式和Stirling公式，计算了两种情形下分数阶积分算子谱半径。随后讨论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式中的应用。关键词：二级学科；分数阶积分算子；谱半径；Gelfand公式；Stirling公式中图分类号：O175.08 文献标识码：A 文章编号：Spectral radius of fractional integral operators and its applicationsFENG Yuqiang, ZHU Xing, WANG Weimin(College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan , China)Abstract: In this paper, Gelfand formula and Stirling formula are used to calculate the fractional integral spectral radius in two cases. Then the conclusion is applied to discuss the solvability of fractional differential equations and fractional Gronwall Inequality.Key words: fractional integral operators; spectral radius; Gelfand formula; Stirling formula 0 引言分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的，由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛应用于自然科学的各个领域，尤其是控制理论、粘弹性理论、电子化学、分形理论等领域1。大量研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷纷投入到这个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义。分数阶积分算子本质上是一类带奇异积分核的线性积分算子，对于其谱半径的计算，有助于进行分数阶微分方程的定性研究。在以往的文献中，不论是证明分数积分方程可解性，有解性，解的渐近性质，还是推广Gronwall不等式，其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出1,3,6。本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所得结论用于分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式。1 预备知识本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论。定义1 2 设是Banach空间，是的线性子空间到中的线性算子，又设是一复数，若是正则算子，即是到上的一对一的线性算子，且它的逆算子是到中的有界线性算子时，称是的正则点，并称为的豫解算子，记为. 不是正则点的复数，称为的谱点。复平面上正则点全体称为的正则集或豫解集，记为，谱点全体称为的谱集，记为.定义22 设是Banach空间，是到的有界线性算子，则称为算子的谱半径。引理12 设为复的Banach空间，则1）极限存在且有（Gelfand公式）；2）当时，是的正则点，则是可逆的，并且.引理2（Stirling公式3） 当时，.引理33 设为一常数，则分数阶积分在上几乎处处存在。进一步，该变上限积分在上是可积的。定义34 设为一Banach空间，为中一个非空凸集，满足条件1） 2） (0表示的零元)，则称为中的锥。如果为中的锥，则可定义中的半序“”为 定义44 设为中的锥，1）如果存在常数，满足，则称是正规的；2）如果，则称是再生的。2 主要结论本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程，分为两种情况进行讨论。定理1 假设为一常数，定义从到的分数阶积分算子为 ，则. 证明：由引理3可知，易见为线性算子。以下分两个步骤证明.第一步：利用数学归纳法证明有下式成立： . （*）事实上，1）当时，由题设知（*）式显然成立；2）假设当时，（*）式仍然成立；3）当时， .这里令，并且利用Beta函数的性质可得下式成立： 因此，当时，（*）式依然成立， （*）式得证.第二步，证明.因为 ，所以 .由Stirling公式可知.于是，利用Gelfand公式可得 .因此，.定理2 设为一常数，定义从到的分数阶积分算子为 ，则.证明：分两个步骤来证明结论。第一步，证明.事实上，对于任意取定的，设. 当时，有.对于，有如下估计：1）如果，则有.2）如果，那么.综合1），2）可知.同理，可以证明时，也有.于是知.第二步，证明.由定理1的证明过程可知 ， 所以 .类似定理1可知，此时也有.3 应用利用第2节所获结果，可以得到一些有意义的结论，为此，首先介绍文献5中定理3.2的一个推论。引理4 设为一Banach空间，为中的正规、再生锥，“”是由锥导出的半序，如果是到的增映射，且存在非负线性算子，使得，则在中存在唯一不动点，且对任意，均有.例1（分数阶微分方程求解）考察如下分数阶微分方程的初值问题：其中，连续，且存在常数，当时，；表示Caputo导数；为常数。注意到方程的解满足积分方程：，定义上的算子为，则映到，且为增算子。定义上的锥，则为中的正规、再生锥。由于，其中，.由定理2知，因此，在中有唯一不动点，即原方程有唯一解。例2（一个新的分数阶积分的Gronwall不等式）考察积分不等式，其中，为上的非负局部可积；为上的非负连续函数，为常数对于任意的，定义上的映射如下：.由引理3，则映到，且为增算子。定义上的锥，则为中的正规、再生锥。由于，其中，.这里. 由定理1知，因此，在中有唯一不动点，记为，且有.由于，注意到为增算子， 因此，.取为迭代的初始值，可以计算得到 其中.这一结果推广了文献6的定理1. 特别地，当时，.这就是文献6推论1.利用这些结论，可以进一步探讨分数阶微分方程解的有界性、稳定性及Heyers-Ulam稳定性。参考文献 (References)1 Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and ApplicationsM. Switzerland; Philadelphia, Pa., USA: Gordon and Breach Science Publishers, 1993.2 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义（第一版，上册）M.北京：北京大学出版社，2003.Zhang G Q, Lin Y Q. Functional Analysis(First Edition,Volume1)M. Beijing: Beijing University Press,2003.3 Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo TypeM,Springer-Verlag,2010.4 郭大钧.非线性分析中的半序方法,济南:山东科学技术出版社，1999.Guo D J. Partial Order Method in Nonlinear Analysis M.,JiNan: Shandong Science and Technology Press,1999.5 Feng Y., Wang H., Characterizations of reproducing cones and uniqueness of fixed points, Nonlinear Anal.74(2011)5759-5765.6 Ye H., Gao J., Ding Y., A generalized Gronwall inquality and its applications to a fractional differential equation, J Math Anal. Appl 328(2007)1075-1081.专心-专注-专业
