平面解析几何初步典型例题整理后(共10页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程经典例题导讲例1直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.解：接前面的过程,方程化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.例4自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+70相切，求光线L所在的直线方程.解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程为y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线和圆的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是： 即：（1）因为圆过原点，所以，即故所求圆的方程为：.（2） 将圆系方程化为标准式，有：当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.例6（06年辽宁理科）已知点A()，B()（0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足.设圆C的方程为（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值.解：（1）证明，（）2（）2，整理得：00设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则0即0整理得：故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（），则，又0，0，04所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得2.圆锥曲线经典例题导讲例1设双曲线的渐近线为：，求其离心率.解：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，故本题应有两解，即：或.例2设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.剖析：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令，则，故其最大值为，最小值为.例3已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程.解法一： 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得 解法二： 依题意，设双曲线的中心为,则 解得 ,所以 故所求双曲线方程为 例4设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程.解：若，则当时，（从而）有最大值.于是从而解得.所以必有，此时当时，（从而）有最大值，所以，解得于是所求椭圆的方程为例5从椭圆,(>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F1PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解：本题可用待定系数法求解b=c, =c，可设椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为例6已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）由题意知：与联立消去y得：设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=点评：也可利用“焦半径”公式计算例7（06年全国理科）设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值.解： 依题意可设P（0,1），Q（），则PQ，又因为Q在椭圆上，所以，PQ2.因为1，1，若，则1，当时，PQ取最大值；若1，则当时，PQ取最大值2.例8已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且=4，求双曲线方程解：设所求双曲线方程为，由右焦点为（2，0）知C=2，b2=4-2则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0 设M（x1,y1）,N(x2,y2),则， 解得，故所求双曲线方程为：点、直线和圆锥曲线经典例题导讲例1求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.解： 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：例2已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.yxOACDBP例3已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE | PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由. 解：由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( ) , 则 D (), 由A、C、P三点共线得 由D、B、P三点共线得 × 得 又 , ， 代入得 ，即点P在双曲线上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE | PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).例4已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1. 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组： 将代入，整理得 ， 设方程的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OPOQ，OP=，可得 整理得 解这个方程组，得 或 根据根与系数的关系，由式得 (1) 或 (2) 解方程组(1)、(2)得 或故所求椭圆方程为=1 ， 或 =1.例5（06年高考湖南）已知椭圆C1：1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。（1）当AB轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（2）若，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.解：（1）当AB轴时，点A、B关于轴对称，所以0，直线AB的方程为1，从而点A的坐标为（1，）或（1，），因为点A在抛物线上，所以，.此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上. (2)当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去得设A、B的坐标分别为（）、（）.则，是方程的两根，.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，所以AB（2）（2）4，且AB（）（）.从而4所以，即解得.因为C2的焦点F、（）在直线上，所以，即当时直线AB的方程为；当时直线AB的方程为.专心-专注-专业
