线性代数复习题及答案(共26页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上线性代数（理）综合复习资料第一章 阶行列式一、选择填空题： 1、排列的逆序数为_。 2、行列式中，元素的代数余子式为 。 3、设行列式，则 。4、设行列式，则 。5、个方程、个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件是 。6、设均为3阶方阵，且，则 。7、设均为3阶方阵，且，则 。8、已知多项式，则的最高次数是 。9、设为3阶矩阵且行列式，则下列说法正确的是（ ）（1）矩阵中必有一列元素等于0；（2）矩阵中必有两列元素对应成比例；（3）矩阵中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（4）矩阵中任一列向量是其余列向量的线性组合。10、下列说法错误的是（ ）（1）若阶线性方程组的系数矩阵行列式，则该方程组存在唯一解；（2）若阶线性方程组的系数矩阵行列式，则该方程组只有零解；（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。二、计算下列行列式 1、；2、 3、；4、； 5、； 6、；7、；8、；9、；10、；第二章 矩阵一、选择填空题 1、设，则的秩 。 2、设，则的秩 。 3、设均为3阶方阵，且，则 。4、设，则。5、设，则。6、设和皆为阶方阵，则下面论断错误的是( )（1）； （2）；（3），其中为的伴随矩阵；（4）如果，则或。7、设是阶矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则下列结论成立的是（ ）。（1）；（2）；（3）；（4）与的关系不定。8、下面论断错误的是( )。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵； （4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。9、设阶实方阵满足关系式，其中为阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。10、设，则下列等式正确的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。二、计算证明题 1、设矩阵和满足关系式，且已知，求矩阵。 2、已知，其中，求矩阵。 3、设为3阶矩阵，为3阶单位矩阵，满足关系式，且已知，求矩阵。4、设为阶矩阵，满足，（1）证明可逆；（2）若，求矩阵。5、设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵。6、已知三阶矩阵的逆矩阵为，试求伴随矩阵的逆矩阵。7、已知且，其中是三阶单位矩阵，求矩阵。8、设方阵满足，证明及都可逆，并求及。9、已知可逆（其中为单位矩阵），试证也可逆，且有。第三章 向量组的线性相关性和秩一、选择填空题 1、设向量组线性无关，则当_ 时，向量组， 线性相关。 2、已知向量组，则该向量组的秩为 。 3、已知向量组，的秩为2，则 。4、关于最大无关组，下列说法正确的是（ ）（1）秩相同的向量组一定是等价向量组；（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；（3）向量组与其最大无关组是等价的；（4）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵的秩为，则下列说法错误的是（ ）（1）矩阵存在一个阶子式不等于零；（2）矩阵的所有阶子式全等于零；（3）矩阵存在个列向量线性无关；（4）矩阵存在个行向量线性无关。6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（ ）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示； （4）如果阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。7、维向量组线性无关的充要条件是（ ）（1）存在一组不全为零的数，使得；（2）中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；（3）中任意两个向量都线性无关；（4）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。8、向量组线性无关的充分条件是（ ）（1）均不为零向量；（2）中任意两个向量的分量不成比例；（3）中任意一个向量都不能用其余个向量线性表示；（4）中有一部分向量线性无关。9、已知向量组线性无关，则下列说法正确的是( )（1）线性无关；（2）线性无关；（3）线性无关；（4）线性无关。10、下列说法错误的是（ ）（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；（3）一个阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；（4）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。二、计算证明题 1、已知向量组，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。 2、已知向量组（）；（）；（），如果各向量组的秩分别为，证明：线性无关。 3、已知向量组，的秩为2，试求的值。4、已知向量组，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。5、设向量组线性无关，证明：线性无关。6、设向量组线性无关，记，证明：也线性无关。7、已知向量组，线性相关，试求的值。8、已知向量组，问：（1），是线性相关还是线性无关？为什么？（2）求，的一个极大无关组。9、设向量组线性无关，记，证明：也线性无关。10、设向量组线性无关，证明：线性无关。第四章 线性方程组一、选择填空题 1、线性方程组有解的充要条件是 。2、线性方程组有解的充要条件是 。3、设是阶矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（1）若仅有零解，则有唯一解；（2）若有非零解，则有无穷多个解；（3）若有无穷多个解，则仅有零解；（4）若有无穷多个解，则有非零解。4、已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是对应齐次线性方程组的基础解系，是任意常数，则方程组的通解必是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。5、设是阶矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是（ ）（1）的列向量线性无关；（2）的列向量线性相关；（3）的行向量线性无关；（4）的行向量线性相关。二、计算题1、设有线性方程组 ，问为何值时，方程组有唯一解？ 无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。2、为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解？无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。3、为何值时，非齐次线性方程组有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。4、问为何值时，非齐次线性方程组有解？并求出解的一般形式。5、问为何值时，非齐次线性方程组 有唯一解？无解？有无穷多解？6、设有线性方程组 ，问为何值时，方程组有唯一解？ 无解？有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。第五章 相似矩阵及二次型一、选择填空题1、二次型的矩阵为。2、二次型的矩阵为。3、若的特征值为，则的特征值为 。4、已知矩阵和相似，且的特征值为，则的特征值为 。5、设与都是矩阵，则与等价的充要条件是 。6、已知三阶矩阵的3个特征值为，则 。7、设阶实方阵满足关系式，其中为阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）。8、设和皆为阶方阵，则下面论断错误的是( )（1）与等价的充要条件是；（2）若与等价，则；（3）与等价的充要条件是存在可逆阵，使；（4）可逆的充要条件是等价于。9、设和皆为阶实方阵，则下面论断错误的是( )（1）与相似的充要条件是存在可逆阵，使得；（2）若是反对称矩阵，则；（3）若可逆，则可以表示成若干个初等矩阵的乘积；（4）若是正交矩阵，则。10、对阶实矩阵和非零常数，下列等式中正确的是（ ）（1）（2）（3）（4）。二、计算题1、求一正交变换，将二次型化为标准形。2、已知矩阵求一正交矩阵，使得为对角矩阵。3、求一正交变换，将下列二次型化为标准形。4、已知矩阵求一正交矩阵，使得为对角矩阵。5、求一正交变换使化二次型成标准形。6、求一正交变换，将二次型化为标准形式。第六章 线性空间与线性变换一、选择填空题1、设中的线性变换把基变为基，则在基下的矩阵为 。2、设中的线性变换：，则在基，下的矩阵为 。3、下列关于线性空间的说法不正确的是（ ）（1）次数为的实系数多项式的集合对于多项式的加法和数乘运算构成线性空间；（2）阶矩阵的集合对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间；（3）维向量的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间；（4）齐次线性方程组所有解的集合对于向量的加法和数乘运算构成线性空间。4、设是线性空间中的线性变换，则下列说法错误的是（ ）（1）；（2）；（3）设向量组线性无关，则向量组也线性无关； （4）设向量组线性相关，则向量组也线性相关。5、下列变换不是线性变换的是（ ）（1）在中，；（2），其中为阶矩阵；（3），其中为不超过次的多项式；（4）。二、计算题1、在线性空间中，已知两个基：，求由基到基的过渡矩阵。2、设中的线性变换在基，下的矩阵为，另取基，求在该基下的矩阵。参考答案和提示：第一章一1、9；2、-64；3、18；4、24；5、；6、33；7、-36；8、3；9、（4）；10、（3）。二1、提示：利用初等行变换，简化行列式即得。2、提示：利用初等行变换，简化行列式，再利用行列式的性质即得。3、提示：利用初等列变换（第1列乘以-1加到其它各列，再对后3列类似处理）。4、提示：利用初等列变换（第1行乘以-1分别加到第2至n行）即得。5、提示：利用初等变换（第2行乘以-1加到后面各行，然后将第2列乘以-1加到后面各列，再利用行列式展开定理即得），6、提示：第1行乘以-1加到第2行，第2行再乘以-1加到第3行，以此类推即得。7、提示：将第n-1列乘以-1加到第n列，再将第n-2列乘以-1加到第n-1列，以此类推；然后将第1行乘以（-1）依次加到第2至n行，再利用行列式展开定理即得。8、提示：将第2至n行依次加到第1行，再提出第1行的公因子，然后利用初等行变换化简行列式即得。9、提示：将第1行乘以（-1）依次加到第2至n行，然后再将第2行乘以（-1）依次加到第3-n行，重复上述过程n-1步即得。10、利用行列式展开定理，将行列式按照第1列展开即得。第二章一1、2；2、2；3、48；4、；5、；6、（4）；7、（3）；8、（3）；9、（4）；10、（2）。二、解：1、，所以可逆。由条件知，。2、由得，其中为3阶单位矩阵，所以。3、由条件知，且可逆，所以。4、（1）由，利用逆矩阵的定义知，可逆，且；（2）由（1）知，且，所以。5、，根据，得，移项得。6、已知，首先计算矩阵，利用求逆方法得 根据，则。7、 。8、，所以及均可逆，；，所以可逆，。9、利用逆矩阵的定义验证即可。第三章一1、-1；2、2；3、3；4、（2）；5、（4）；6、（4）；7、（4）；8、（3）；9、（1）；10、（3）。二1、解：将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：所以该向量组的秩为3，是一个最大无关组，且。2、证明：由题意知，向量组（）和（）的秩都是 3，则必线性无关，线性相关，故可由线性表示，记为；而（）的秩为4，则必线性无关。设，代入得，整理得，由线性无关知，所以，即线性无关。3、解：提示：利用秩的定义和初等行变换将向量按行排成的矩阵化为阶梯形矩阵即得因为该向量组的秩为2，则非零行数为2，所以。4、将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可：所以该向量组的秩为2，是一个最大无关组，且有。5、证明：设，即，因为线性无关，则有，系数行列式为，所以只有零解，线性无关。6、证明：设，即，所以也线性无关。7、解：设，即，因为线性相关，则不全为零，由方程组知，故均不为零，得。8、将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵即可： （1）由可知：，线性相关；（2），的一个最大线性无关组为，。9、证明：设，即，所以也线性无关。10、证明：设，即，因为线性无关，则有系数行列式为，所以只有零解，线性无关。第四章一1、2；2、；3、（4）；4、（2）；5、（1）。二解：1、对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得当时，方程组有唯一解（系数行列式非零）；当且时，方程组无解（）；当且时，方程组有无穷多解（）；此时齐线性方程组的基础解系为，非齐线性方程组的特解为，通解为。2、，（1）当且时，有唯一解； （2）时， 所以方程组有无穷多解；齐线性方程组的基础解系为，非齐线性方程组的特解为，通解为（3）时， 所以方程组无解。3、解法同上题。（1）当且时，有唯一解； （2）时， 所以无解；（3）时， 所以有无穷多解； 基础解系为， 特解为，通解为 。4、提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得当时，方程组有解；相应齐次方程组的基础解系为：，非齐次方程组的一个特解为，故此时方程组的解的一般形式为（为任意实数）。5、提示：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于零，有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等即得系数矩阵的行列式为，当时方程组有唯一解；当时方程组无解；当时方程组有无穷组解；当时方程组无解。6、对方程组的增广矩阵进行初等行变换，根据方程组的解与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系即得当时，方程组有唯一解（系数行列式非零）；当且时，方程组无解（）；当且时，方程组有无穷多解（）；齐线性方程组的基础解系为，非齐线性方程组的特解为，通解为。第五章一1、；2、；3、1，0，4；4、3，-2，1；5、；6、-6；7、（4）；8、（2）；9、（4）；10、（2）。二解：1、所给二次型矩阵为，二次型矩阵形式：，其中问题等价于求正交矩阵，使得，则所求正交变换为，二次型标准型为；的特征值为，（二重）；分别求出各个特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化后，按照列排成矩阵即得。正交矩阵，则。所求变换为，标准型为。2、类似上题，先求的特征值为，；分别求出各个特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化后，按照列排成矩阵即得。正交矩阵，则。3、同1题，所给二次型矩阵为，的特征值为，；分别求出各个特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化后，按照列排成矩阵即得。正交矩阵，则；所求变换为，标准型为。4、同1题，的特征值为，（二重）；分别求出各个特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化后，按照列排成矩阵即得。正交矩阵，则。5、同1题，所给二次型矩阵为，特征值为，；（6分）正交矩阵，则所求变换为，标准型为。6、所给二次型矩阵为， 特征值为，（二重）；正交矩阵，则，所求变换为，标准型为。第六章一1、；2、；3、（1）；4、（4）；5、（1）。二解：1、取标准基，因为，则有， 同理，则有，所以，从而所求过渡矩阵为：。2、先求由基到基的过渡矩阵，则，故所求矩阵。专心-专注-专业