2022年无穷限反常积分敛散性及审敛法则.pdf
无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识， 本节通过介绍反常积分， 加深学生对积分的了解， 使同学对积分的了解更加系统化， 并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。二、学情 /学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛， 使学生充分掌握本节课的内容。三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。2本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。4.课时要求： 2 课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解， 引导学生互动，相互讨论解决问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义 1设函数定义在无穷区间,a) 上，且在任何有限区间ua, 上可积 如果存在极限Jdxxfuau)(lim则 称 此 极 限J为 函 数f在 ,a) 上 的 无 穷 限 反 常 积 分 ( 简 称 无 穷 积 分 ) ， 记 作dxxfJa)(， 并 称dxxfa)(收 敛 如 果 极 限Jdxxfuau)(lim不 存 在 ， 亦 称dxxfa)(发散 类似地，可定义f在(b,上的无穷积分：.)(lim)(dxxfdxxfbuub对 于f在 (,) 上 的 无 穷 积 分 ， 它 用 前 面 两 种 无 穷 积 分 来 定 义 ：,)()()(dxxfdxxfdxxfaa其中a为任一实数， 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的注：dxxfa)(收敛的几何意义是：若f在,a上为非负连续函数，则介于曲线)(xfy，直线ax以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J例 1 讨论无穷积分.1) 102xdx，.1)22xdx，.)302dxxex的收敛性例 2 讨论下列无穷积分的收敛性：1)1pxdx，;)(ln)22pxxdx二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分adxxf)(收敛与否，取决于积分上限函数)(uFuadxxf)(在u时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则定理11.1 无穷积分adxxf)(收敛的充要条件是：任给0，存在Ga，只要Guu21,，便有2121)()()(uuuauadxxfdxxfdxxf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质性 质1 若dxxfa)(1与dxxfa)(2都 收 敛 ，1k,2k为 任 意 常 数 ， 则dxxfkxfka)()(2211也收敛，且dxxfkdxxfkdxxfkxfkaaa)()()()(22112211性 质 2 若f在任何有限区间ua,)上可积， 且有adxxf)(收敛，则adxxf)(亦必收敛，并有aadxxfdxxf)()(证：adxxf)(由收敛，根据柯西准则(必要性 )，任给0，存在Ga，当Guu12时，总有2121)()(uuuudxxfdxxf. 利用定积分的绝对值不等式，又有21)(uudxxf21)(uudxxf. 再由柯西准则 (充分性 )，证得adxxf)(收敛又因uadxxf)(uadxxf)(，令u取极限，立刻得到不等式. 当adxxf)(收敛时，称adxxf)(为绝对收敛 性质 3 指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛性质 3 若f在任何有限区间ua,上可积，ba，则adxxf)(与bdxxf)(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有adxxf)(=badxxf)(+bdxxf)(, 性质 2 相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出adxxf)(收敛的另一充要条件：任给0，存在0G，当uG 时，总有.)(adxxf事实上，这可由uaudxxfdxxfdxxf)()()(结合无穷积分的收敛定义而得三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法由于uadxxf)(关于上限u是单调递增的， 因此adxxf)(收敛的充要条件是uadxxf)(存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理 11.2 (比较法则 ) 设定义在 ,a)上的两个函数f和g都在任何有限区间ua,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 上可积，且满足),),()(axxgxf则当adxxg)(收敛时dxxfa)(必收敛 (或当dxxfa)(发散时，adxxg)(必发散 )例 3 讨论dxxx021sin的收敛性解：由于,0,111sin22xxxx，而2102xdx为收敛，故dxxx021sin为绝对收敛当选用1pxdx作为比较对象adxxg)(时，比较判别法有如下两个推论(称为 柯西判别法 )推论 1 设f定义于 ,a (0a)，且在任何有限区间ua,上可积，则有：(i)当),1)(axxxfp,且1p时, dxxfa)(收敛 ; (ii) 当),1)(axxxfp且1p时, dxxfa)(发散 . 推论 2 设定义于 ,a)，在任何有限区间ua,.上可积，且)(limxfxpx则有：(i)当0 ,1p时, dxxfa)(收敛 ; (ii) 当0 ,1p时, dxxfa)(发散 . 推论 3 若f和g都在任何 ua,)上可积，0)(xg，且,)()(limcxgxfx则有(i)当c0时，由adxxg)(收敛可推知dxxfa)(也收敛；(ii) 当c0时，由adxxg)(发散可推知dxxfa)(也发散 . 四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理 11.3 (狄利克雷判别法) 若uadxxfuF)()(在, a)上有界，)(xg在,a)上当x时单调趋于0，则无穷积分adxxgxf)()(收敛定理 11.4 (阿贝尔 (Abel)判别法 ) 若adxxf)(收敛，)(xg在,a)上单调有界，则无穷积分adxxgxf)()(收敛用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 例 5 讨论dxxxp1sin与)0(cos1pdxxxp的收敛性解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种情形来讨论：(i) 当p1 时dxxxp1sin绝对收敛这是因为),1sinaxxxxpp而1pxdx当p1 时收敛，故由比较法则推知dxxxp1sin收敛 . (ii) 当10p时dxxxp1sin条 件 收 敛 这 是 因 为 对 任 意u 1 ， 有2c o s1c o ss i n1ux d xu，而px1当0p时单调趋于)(0 x，故由狄利克雷判别法推知dxxxp1sin工当0p时总是收敛的另一方面，由于), 1,22cos21sinsin2xxxxxxxxp，其中dtttdxxx21cos2122cos是收敛的，而12xdx是发散的，因此当10p时该无穷积分不是绝对收敛的所以它是条件收敛的例 6 证明下列无穷积分都是条件收敛的,sin12dxx,cos12dxxdxxx14sin证：前两个无穷积分经换元2xt得到,2sinsin112dtttdxx.2coscos112dtttdxx由 例5知 它 们 是 条 件 收 敛 的 对 于 第 三 个 无 穷 积 分 ， 经 换 元2xt而 得1214sin21sindttdxxx，它也是条件收敛的从例6 中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。作业内容：教材260P:1 （ 4，6，9） ；2；3.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -
