解析几何经典大题汇编(共59页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上解析几何解答题选1:如图,为双曲线的右焦点,为双曲线在第一象限内的一点,为左准线上一点,为坐标原点, （）推导双曲线的离心率与的关系式； （）当时, 经过点且斜率为的直线交双曲线于两点, 交轴于点, 且，求双曲线的方程.【答案】解：() 为平行四边形.设是双曲线的右准线,且与交于点,即6分 （）当时,得所以可设双曲线的方程是,8分设直线的方程是与双曲线方程联立得:由得.来源:学科网ZXXK由已知，因为，所以可得10分由得，消去得符合，所以双曲线的方程是14分2.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围【答案】解：（1）设C：1（a>b>0），设c>0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc 故C的方程为：y21 （2）当直线斜率不存在时： 5分当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）得（k22）x22kmx（m21）06分（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*） 7分x1x2， x1x2 8分3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）2409分整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2， 10分k20，或把k2代入（*）得或 或 11分综上m的取值范围为或 12分3.已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是（1）求椭圆E的方程；（2）过点C（1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且故所求方程为即3分（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得： 4分则 6分分要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意。3.已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离大. （I）求曲线的方程； （II）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值，并求出此定值.【答案】解:（I）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离多。即动点到点的距离等于它到直线的距离ABmPFBCD则两边平方化简可得： （II）如图,作设,的横坐标分别为则解得同理 解得记与的交点为 故4.如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）。【答案】解：设（1）由条件知直线1分由消去y，得2分由题意，判别式（不写，不扣分）由韦达定理，3分由抛物线的定义，从而所求抛物的方程为6分（2），易得7分设。将代入直线PA的方程得9分来源:学科网ZXXK同理直线PB的方程为10分将代入直线PA，PB的方程得12分5.已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为 （1）求椭圆的方程。 （2）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。【答案解：由题意可知：a+c= +1 ，×2c×b=1,有a2=b2+c2来源:学科网ZXXKa2=2, b2=1, c2=1所求椭圆的方程为：设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0)来源:学科网ZXXK联立则 6.已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为.（I）求椭圆的方程。（II）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。【答案解：(I)由题意可知：a+c= +1 ，×2c×b=1,有a2=b2+c2a2=2, b2=1, c2=1所求椭圆的方程为： .4分（II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(,0)联立则 7.已知函数的定义域为，解关于的不等式 .【答案】 解：因为函数的定义域为，所以恒成立2分当时，恒成立,满足题意， 3分当时，为满足 必有且，解得， 综上可知：的取值范围是 6分 原不等式可化为 当时，不等式的解为：，或8分当时， 不等式的解为： 9分当 时，不等式的解为：，或 11分综上，当时，不等式的解集为：或当时， 不等式的解集为：当时，不等式的解集为：或12分8.设椭圆E：的上焦点是，过点P（3，4）和作直线P交椭圆于A、B两点，已知A().(1) 求椭圆E的方程；(2) 设点C是椭圆E上到直线P距离最远的点，求C点的坐标。【答案】解：（1）由A（）和P（3，4）可求直线的方程为：y=x+11分令x=0，得y=1,即c=1 2分椭圆E的焦点为、，由椭圆的定义可知 4分 5分椭圆E的方程为 6分B 设与直线平行的直线: 7分，消去y得 8分，即 9分要使点C到直线的距离最远，则直线L要在直线的下方，所以 10分此时直线与椭圆E的切点坐标为，故C（为所求。 12分9.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限。 （1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；（2）若，求的值. 【答案】解：（1）由已知F（），设A（），则圆心坐标为，圆心到y轴的距离为. 2分圆的半径为， 4分以线段FA为直径的圆与y轴相切。 5分（3） 设P（0，），B（），由，得. 6分. 7分 10分.将变形为，. 11分将代入，整理得 12分代入得. 13分即. 14分10.已知在平面直角坐标系中，向量，OFP的面积为，且 。（1）设,求向量的夹角的取值范围；（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程。【答案】解：（1）由因为来源:学,科,网（2）设11.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（）求椭圆的方程和其“准圆”方程.（）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点；（1）当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程.（2）求证：为定值.【答案】解：（），椭圆方程为2分准圆方程为。 3分（）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆有一个公共点的直线为，所以由消去，得.因为椭圆与只有一个公共点，所以，解得。 5分所以方程为. 6分（2）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. 7分当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：.8分因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直. 10分综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4. 12分12. 如图，椭圆C：焦点在轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B抛物线C1、C：分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q（，0），求的最小值【答案】解：（）由题意，A（，0），B（0，），故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为 1分由 得 3分所以椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2：5分（）由（）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为设直线方程为由，整理得 6分因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以解得 7分设M（）、N（），则8分来源:Z|xx|k.Com因为所以 10分因为，所以当时，取得最小值其最小值等于 12分13. 一条斜率为1的直线与离心率e=的椭圆C：交于P、Q两点，直线与y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程；【答案】e，a22b2，则椭圆方程为1，设l方程为：yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去y得3x24mx2m22b20，故有16m24×3(2m22b2)8(m23b2)03b2m2(*)x1x2m(1)x1x2(m2b2)(2)又·3得x1x2y1y23，而y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2，所以2x1x2m(x1x2)m23(m2b2)m2m23，3m24b29(3)又R(0，m)，3，(x1，my1)3(x2，y2m)从而x13x2(4)由(1)(2)(4)得3m2b2(5)由(3)(5)解得b23，m±1适合(*)，所求直线l方程为yx1或yx1；椭圆C的方程为1.14椭圆的左、右焦点分别是，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，成等差数列（1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程【答案】解：（1）由题设，得， 由椭圆定义，所以，3分设，：，代入椭圆的方程，整理得 ，（*）2分则，于是有， 4分化简，得，故， 1分（2）由（1）有，方程（*）可化为 1分设中点为，则，又，于是 2分由知为的中垂线， 由，得，解得， 2分来源:学科网ZXXK故，椭圆的方程为1分15. 已知椭圆b的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.（1）求椭圆的标准方程；（2）求m的取值范围.（3）试用m表示MPQ的面积S，并求面积S的最大值.【答案】解：（1）依题意可得解得 从而所求椭圆方程为4分（2）直线的方程为由可得该方程的判别式=0恒成立.设则5分可得设线段PQ中点为N，则点N的坐标为6分线段PQ的垂直平分线方程为 令，由题意7分 又，所以08分 （3）点M到直线的距离 于是 由可得代入上式，得即.11分设则来源:学§科§网而00m0m所以在上单调递增，在上单调递减.所以当时，有最大值13分所以当时，MPQ的面积S有最大值14分16.已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学届高三联考)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 .【解析】焦点，设，则，设到准线的距离等于，则 =令，则来源:学科网=（当且仅当时，等号成立）故的最大值为 17 已知双曲线的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为 。18.若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x5)2y21上，点R在曲线C3：(x5)2y21上，则 | PQ | PR | 的最大值是 10 19.设上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （3）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解析：本例（1）通过，及之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案：（1）椭圆的方程为 （2）设AB的方程为由由已知 2 （3）当A为顶点时，B必为顶点.SAOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.20.如图，F为双曲线C：的右焦点 P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形， 来源:学科网ZXXK（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程 分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。解：四边形是，作双曲线的右准线交PM于H，则，又， （）当时，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求 21.已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点（）若，求直线的方程；（）若与的面积相等，求直线的斜率解：（）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线： 因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于所以 ， 得，所以 直线的方程为或 （）因为与的面积相等，所以， 设 ，所以 ，所以 即（*）； 因为，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ，所以 所以 直线的斜率， 即 22.已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（）若，求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.解：（）由题意得，得. 2分结合，解得，.3分所以，椭圆的方程为4分（）由 得. 设.所以，6分依题意，易知，四边形为平行四边形，所以，7分因为，所以. 8分即 ，9分将其整理为 .10分因为，所以，.11分所以，即. 23.已知直线，椭圆E：（）若不论k取何值，直线与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式；（）当时，直线与椭圆E相交于A、B两点，与y轴交于点M，若,求椭圆E方程解：()直线恒过定点M(0，1)，且直线与椭圆E恒有公共点，点M(0，1)在椭圆E上或其内部，得，解得.(联立方程组，用判别式法也可)当时，椭圆的焦点在轴上，；当时，椭圆的焦点在轴上，. ()由，消去得.设，则，.M(0，1)，由得 . 由得 .将代入得， ，解得(不合题意，舍去).椭圆E的方程为. 24.椭圆的方程为，斜率为1的直线与椭圆交于两点.）若椭圆的离心率，直线过点，且，求椭圆的方程；（）直线过椭圆的右焦点F，设向量，若点在椭圆上，求 的取值范围.解：（）， . . .椭圆的方程为. 5分（）得 ，.=（，）, .点在椭圆上 ，将点坐标代入椭圆方程中得. , ,. 25已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.（）求椭圆的标准方程；（）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 解：（）由题意可得圆的方程为，直线与圆相切，即， 又，即，解得， 所以椭圆方程为 （）设， ，则，即， 则，即， 为定值 （）设，其中由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中 当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段； 当时，方程变形为，其中， 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆 26.已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。【解析】（1）又由点M在上，得 故， 从而 2分所以椭圆方程为 或 4分（2）以OM为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径6分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 8分所以，解得所求圆的方程为10分（3）方法一：由平几知：直线OM：，直线FN：12分由得所以线段ON的长为定值。14分方法二、设，则 12分又所以，为定值 14分27.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）椭圆的标准方程为（2）设，得: ， 以为直径的圆过椭圆的右顶点，且均满足，当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾当时，的方程为，则直线过定点直线过定点，定点坐标为28.已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为 （I）判断直线与椭圆E交点的个数； （II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。解：（1）由消去并整理得，4分故直线与椭圆只有一个交点5分（2）直线的方程为即 设关于直线的对称点的坐标为则 解得 直线的斜率为从而直线的方程为即从而直线恒过定点 29.已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，求、的值；若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围解：依题意，：1分，不妨设设、（）由得，3分，所以，解得，由消去得7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或9分，解得或10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即12分。解或13分，得的取值范围为 30、如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（I）求曲线的方程；（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.【解】（）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.2分又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 5分曲线E的方程为6分（）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设8分，10分又当直线GH斜率不存在，方程为31已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点（I）求椭圆的方程； （II）证明为定值（为坐标原点）解：（I）由题意，解三角形得，由椭圆定义得，从而又，则，所以椭圆的方程为 （6分）（II）设交点，联立消去得由韦达定理得 （9分）又直线与圆相切，则有 从而 所以，即为定值 32已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点证明：；（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.由已知条件，得， 解得 .所以椭圆的方程为：.分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ， 由 消去并整理得 ， .分抛物线的方程为，求导得，过抛物线上、两点的切线方程分别是， ，即 ， ，解得两条切线、的交点的坐标为，即，.（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得， 解得或 10分 故不妨取，即直线过点. 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、 （、为切点），能使直线过点.此时，两切线的方程分别为和. 抛物线与切线、所围成图形的面积为 . 33、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且（I）求椭圆C1的方程； （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。解：（I）设由抛物线定义，3分， M点C1上，舍去.椭圆C1的方程为6分（II）为菱形，设直线AC的方程为 在椭圆C1上，设，则10分的中点坐标为，由ABCD为菱形可知，点在直线BD：上，直线AC的方程为34.已知椭圆的离心率为e=，且过点（）（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx+m(k0，m0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.解：（）e= c= a b2=a2-c2= a2故所求椭圆为：又椭圆过点（） a2 =4. b2 =1 ()设P（x1,y1）, Q（x2,y2）,PQ的中点为（x0,y0）将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0 又x0=又点-1，0）不在椭圆OE上，依题意有整理得3km=4k2+1 由可得k2，m0, k0,k分）设O到直线l的距离为d，则SOPQ =分）当的面积取最大值1，此时k= 直线方程为y= OFxy··P第35题35.已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为证明：设， ， ， 的斜率分别为，故的方程为，的方程为即，两式相减，得，又， 的横坐标相等，于是36已知定点和直线，过定点F与直线相切的动圆圆心为点C。 （1）求动点C的轨迹方程； （2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值。解：（1）由题设点C到点F的距离等于它到的距离，点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线 所求轨迹的方程为 （2）由题意直线的方程为，与抛物线方程联立消去记 6分因为直线PQ的斜率，易得点R的坐标为8分，当且仅当时取到等号。11分的最小值为16 37已知椭圆的长轴长为4。 （1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标； （2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为，当时，求椭圆的方程。解：（1）由2分 （2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称不妨设：M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有两式相减得： 由题意它们的斜率存在，则 故所求椭圆的方程为 38. 已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上的一点，且在轴的上方，是上一点，若，（其中为坐标原点）.()求椭圆离心率的最大值;()如果离心率取()中求得的最大值, 已知，点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程.解:()由题意知则有与相似所以 设,则有,解得所以根据椭圆的定义得: ,即所以 显然在上是单调减函数当时,取最大值所以椭圆离心率的最大值是 ()由()知,解得所以此时椭圆的方程为,题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,则其方程为设,由于,所以有12分又是椭圆上的一点,则解得所以直线的方程为或 39.已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且面积的最大值为 （1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；（3）作C2的切线交C1于O、R两点，求证：解：（1）设椭圆C1的方程为， 2分由椭圆的几何笥质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大。，由 解得故椭圆C1的方程为 5分 （2）由（1）知A（0，1），设则 7分整理得M的轨迹C2的方程为 （3）当切线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得：，设，则 11分，则又与C2相切，即，故 13分当切线的斜率不存在时，直线或此时综合得， 14分40已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率 （1）求圆C及椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明解：（1）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，为直角三角形，2分外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为2a=4，a=2又，可得所求椭圆C1的方程是6分（2）直线PQ与圆C相切设，则当时，；当时，直线OQ的方程为8分因此，点Q的坐标为 当时，；当时候，综上，当时候，故直线PQ始终与圆C相切41 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。解：（1）设则由由得即所以c=1 又因为3分因此所求椭圆的方程为： （2）动直线的方程为：由得设则假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）这时，点M到AB的距离设则得所以当且仅当时，上式等号成立。因此，面积的最大值是 42已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形。 ()求椭圆的方程；()若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值?若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由。解：()由题意知抛物线的焦点1分 又椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形 椭圆的方程为3分 ()当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为： ， 则 7分 当 即时为定值10分当直线的斜率不存在时，由可得综上所述当时，为定值12分43.已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且来（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围 解（1）过（0，0）则OCA=90°， 即 又来将C点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4 椭圆m： （2）由条件D（0，2） M（0，t） 1°当k=0时，显然2<t<2 6分2°当k0时，设 消y得 由>0 可得 设则 ， 由 来t>1 将代入得1<t<4*Kt的范围是（1，4） 综上t（2，4）44. 已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：， （2分）则，当且仅当时取等号 （4分）（2）由得，（6分）所以 （3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. 当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得则 又 所以当直线与轴垂直时，由得两交点，显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.45. 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）由， ，得，所以椭圆方程是：（2）设EF：（）代入，得，设，由，得由，得，（舍去），（没舍去扣1分）直线的方程为：即（3）将代入，得（*）记，PQ为直径的圆过，则，即，又，得解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件46.已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得，所以，故，所以椭圆的方程为（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即，又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，