2022年北京市朝阳区高三上学期期中考试数学理试题.pdf

北京市朝阳区 2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类）2013.11 （考试时间120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40 分）一、选择题 ：本大题共 8 小题，每小题5分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.已知集合0,1, 2A，1,Bm若ABBI，则实数m的值是A0B2C0或2D0或1或22.命题p：对任意xR，210 x的否定是Ap：对任意xR，210 xBp：不存在0 xR, 0210 xCp：存在0 xR, 0210 xDp：存在0 xR, 0210 x3.执行如图所示的程序框图，则输出的T值为A91 B 55 C54 D30 4.若01m， 则Alog (1)log (1)mmmmBlog (1)0mmC2)1 (1mmD1132(1)(1)mm5.由直线0 x，3x，0y与曲线2sinyx所围成的图形的面积等于输出 T开 始T=0,i=1 结 束i5？是i=i+1 否T=T+i2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - A3B32C1D126.已知平面向量(1, 2)a，(2,1)b，( 4, 2)c =，则下列结论中错误的是A向量c与向量b共线B若12cab（1，2R） ，则10，22C对同一平面内任意向量d，都存在实数1k，2k，使得12kkdb +cD向量a在向量b方向上的投影为07. 若函数2( )f xxk的图象与函数( )3g xx的图象至多有一个公共点，则实数k的取值范围是. . A. (,3B. 9,)C. (0,9D. (,98.同时满足以下4 个条件的集合记作kA： （1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1； （ 3）最大元素为 2014； （4）各个元素可以从小到大排成一个公差为kkN的等差数列那么6133AA中元素的个数是A96 B94 C92 D90 第二部分（非选择题共 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9在公比小于零的等比数列na中，12a，532a，则数列na的前三项和3S10函数43yxx(3)x的最小值是11曲线( )exf x在点0(x，0()fx处的切线经过点(1P，0)，则0 x12已知平面向量a与b的夹角为6，3a，1b，则ab；若平行四边形ABCD满足ABuu u rab，ADuuu rab，则平行四边形ABCD的面积为13已知函数222 ,0,( )2 ,0.xxxf xxxx若2(3)(2 )fafa，则实数a的取值范围是14已知函数xaxf)(（10a） ，数列na满足)1(1fa，)(1nnafa，nN.则2a与3a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 中，较大的是；20a，25a，30a的大小关系是三、解答题：本大题共6小题，共80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13 分）已知函数2( )2sin(2)4cos4f xxx（）求函数( )f x的最小正周期及最小值；（）若0,2，且()3f，求的值16.（本小题满分13 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2 5cos25A（）若5bc，求ABC的面积；（）若1a，求bc的最大值 . 17. （本小题满分13 分）已知等差数列na的前n项和为nS，*nN，且364aa，55S. （） 求na；（） 若123nnTaaaaL，求5T的值和nT的表达式 . 18. （本小题满分14 分）已知函数2( )43f xxxa,aR. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （） 若函数( )yf x的图象与x轴无交点，求a的取值范围；（） 若函数( )yf x在 1,1上存在零点，求a的取值范围；（）设函数( )52g xbxb，bR.当0a时，若对任意的11,4x，总存在21,4x，使得12()()f xg x，求b的取值范围19. （本小题满分14 分）已知函数21( )(3)3ln2f xxm xmx，mR.（）求函数( )f x的单调递增区间；（）设1(A x，1()fx，2(B x，2()f x为函数( )f x的图象上任意不同两点，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于3，求m的取值范围 . 20. （本小题满分13 分）如果项数均为n2,nnN的两个数列na，nb满足),2, 1(nkkbakk且集合2,3 ,2, 1,2121nbbbaaann，则称数列,nnba是一对“n项相关数列” . （）设,nnba是一对 “4 项相关数列”，求1234aaaa和1234bbbb的值，并写出一对“4项相关数列”,nnba；（）是否存在“15项相关数列”,nnba？若存在，试写出一对,nnba；若不存在，请说明理由；（）对于确定的n，若存在“n项相关数列” ，试证明符合条件的“n项相关数列”有偶数对精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 北京市朝阳区 2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷答案（理工类）2013.11 一、选择题 ：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案C C B D A C D B 二、填空题：（注：两空的填空，第一空3 分，第二空2 分）三、解答题：（15） （本小题满分13 分）解：2( )2sin(2)4cos4f xxx1cos22 sin 2cos2 cos2sin4442xxxsin2cos22cos22xxxsin2cos22xx2sin(2)24x（） 函数( )f x的最小正周期为22，函数( )f x的最小值为22 6 分（） 由( )3f得2 sin(2)234所以2sin(2)42又因为0,2，所以52444，题号9 10 11 12 13 14 答案6121331a2a253020aaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 所以244或 3244所以0或4 13 分16. （本小题满分13 分）解： （）因为2 5cos25A，0A，所以5sin25A. 所以4sin2sincos225AAA. 因为5bc，所以2sin21AbcSABC. 6 分（）因为,552sinA所以532sin21cos2AA. 因为Abccbacos2222)cos1 (2)(2Abccb1. 2255()16164bcbcbc，所以5bc.当且仅当52bc时等号成立 . 所以bc的最大值为5 13 分17. （本小题满分13 分）解： （） 等差数列na的公差为d，则1112545(51)552adadad解得，15a，2d，则27nan，nN. 5 分（） 当4n时，270nan，当3n时，270nan. 则5T12345()13aaaaa3n时，nT26nn；4n时，232618nnTSSnn. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 即226,3,618,4,nnnnTnnnnN. 13 分18. （本小题满分14 分）解： （）若函数( )yf x的图象与x轴无交点，则方程( )0f x的判别式0，即164(3)0a，解得1a. 3 分（）2( )43fxxxa的对称轴是2x，所以( )yf x在 1,1上是减函数，( )yf x在 1,1上存在零点，则必有：(1)0( 1)0ff，即080aa，解得：80a，故实数的取值范围为80a； 8分（）若对任意的11,4x，总存在21,4x，使12()()f xg x，只需函数( )yfx的值域为函数( )yg x值域的子集 .当0a时，2( )43f xxx的对称轴是2x，所以( )yfx的值域为 1,3， 下面求( )52g xbxb，1,4x的值域，当0b时，( )5g x，不合题意，舍当0b时，( )52g xbxb的值域为5,52 bb，只需要51523bb，解得6b当0b时，( )52g xbxb的值域为52 ,5bb，只需要52153bb，解得3b综上：实数b的取值范围6b或3b 14 分19. （本小题满分14 分）解:（）依题意，( )f x的定义域为0,，3( )(3)mfxxmx2(3)3xm xmx(3)()xxmx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （）若0m，当3x时，( )0fx，( )fx为增函数 .()若3m, 2(3)( )0 xfxx恒成立，故当0 x时，( )f x为增函数 .（）若03m, 当0 xm时，( )0fx，( )f x为增函数；当3x时，( )0fx，( )f x为增函数 . ( )若3m, 当03x时，( )0fx，( )f x为增函数；当xm时，( )0fx，( )f x为增函数 . 综上所述，当0m时，函数( )f x的单调递增区间是3,；当03m时，函数( )f x的单调递增区间是0,m,3,；当3m时，函数( )f x的单调递增区间是0,；当3m时，函数( )f x的单调递增区间是0,3,m. 6 分（）依题意，若过,A B两点的直线l的斜率恒大于3，则有1212()()3f xf xxx，当120 xx时，1212()()3()fxfxxx，即1122()3()3f xxf xx；当120 xx时，1212()()3()fxfxxx，即1122()3()3f xxf xx. 设函数( )( )3g xf xx，若对于两个不相等的正数12,x x，1212()()3f xf xxx恒成立，则函数21( )3ln2g xxmxmx在0,恒为增函数，即在0,上，3( )0mg xxmx恒成立 . 解法一：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - (1)当0m时，当0 x，( )gx，说明此时( )0gx不恒成立；或3()111mmmgmmmmm12322011mmmmm，说明此时( )0g x不恒成立；(2)当0m时，( )0gxx在0,上恒成立；(3)当0m时，若3( )0mg xxmx恒成立，而当0 x时，32 3mxmx，（当 且 仅 当3xm时 取 等 号 ） 即2 30mm成 立 ， 即(23)0mm， 解 得02 3m，即012m，显然12m符合题意 . 综上所述，012m时，过,A B两点的直线l的斜率恒大于3. 解法二：在0,上，3( )0mg xxmx恒成立， 等价于3(1)mxx，在0,x成立，即3(1)mxx在0,x成立 . （）当3x时，上式显然满足；（）当03x时，上式等价于23xmx，设2( )3xh xx，此时( )h x为减函数，( ),0h x，只需0m；（）当3x时，上式等价于23xmx，设2( )3xh xx，则( )h x2(3)6(3)93xxx9363xx，当3x时，( )12h x（当且仅当6x时等号成立） . 则此时12m. 在0,上，当012m时，3( )0mg xxmx成立 . 过,A B两点的直线l的斜率恒大于3. 解法三：在0,上，3( )0mg xxmx恒成立，等价于2( )30h xxmxm在),0(x恒成立，则有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - （1）0时，即0122mm，所以120m或（ 2）0时，需02m且( )3h xm，即30m显然不成立 . 综上所述，120m. 14 分20. （本小题满分13 分）解： （）依题意，112233441,2,3,4abababab，相加得，12341234()10aaaabbbb，又1234aaaa123436bbbb，则123423aaaa，123413bbbb. “ 4 项相关数列 ”na：8， 4，6，5；nb：7，2，3， 1（不唯一）3 分参考：（ “4 项相关数列”共6 对：na：8，5，4，6；nb：7，3，1，2 或na：7，3，5，8；nb：6，1，2， 4 或na：3，8，7，5；nb：2，6，4， 1 或na：2，7，6，8；nb：1，5，3， 4 或na：2，6，8，7；nb：1，4，5， 3 或na：8，4，6，5；nb：7，2，3， 1 （）不存在 理由如下：假设存在“15 项相关数列”,nnba，则15,2, 115152211bababa，相加，得120)()(15211521bbbaaa又由已知465302115211521bbbaaa，由此精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 585)(21521aaa，显然不可能，所以假设不成立。从而不存在“15 项相关数列”,nnba 7 分（）对于确定的n，任取一对“n项相关数列”,nnba，令kkbnc12，kkand12),2, 1(nk，先证,nndc也必为“n项相关数列”因为kbaanbndckkkkkk)12()12(),2 ,1(nk又因为1212,1,2,3,4,2 nna aa b bbnLLL，很显然有)12( ,)12( ,) 12( ,) 12( ,) 12( ,) 12(2121nnbnbnbnananan2 ,3 ,2, 1n，所以,nndc也必为“n项相关数列” 再证数列nc与na是不同的数列假设nc与na相同，则nc的第二项22221cnba，又222ba，则2221bn，即2212nb，显然矛盾从而，符合条件的“n项相关数列”有偶数对13 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -