2022年北京市海淀区届高三上学期期末考试数学理试题.pdf

word 海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2017.1本试卷共 4 页， 150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1抛物线22yx的焦点到准线的距离为A12B1 C2 D3 2在极坐标系中，点(1, )4与点3(1,)4的距离为A1 B2C3D53右侧程序框图所示的算法来自于九章算术 . 若输入 a的值为 16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A6 B7 C8 D9 4已知向量,a b满足20ab， ()2aba，则a bA12B12C2D2 5已知直线 l 经过双曲线2214xy的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A1522yxB152yxC322yxD23yx6设,x y满足0,20,2,xyxyx则22(1)xy的最小值为A1 B92C5 D9 7在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，开始是否是否aabbbaa输出结束,a b输入abab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为A14 B16C18 D20 8如图，已知正方体1111ABCDA B C D 的棱长为 1，,E F 分别是棱 AD，B1C1上的动点，设1,AEx B Fy 若棱1DD 与平面BEF有公共点，则 xy 的取值范围是A 0,1B1 3, 2 2C 1,2D3,22二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9已知复数z满足 (1i)2z，则 z_10在261()xx的展开式中，常数项为_（用数字作答）11若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_12已知圆 C :2220 xxy，则圆心坐标为_；若直线l过点 ( 1,0) 且与圆 C 相切，则直线l的方程为_13 已知函数2sin()yx(0,|)2. 若(0)1f，则_； 若xR ，使(2)( )4f xf x成立，则的最小值是 _14 已知函数| |( )ecosxfxx，给出下列命题：( )f x 的最大值为2；( )f x 在 ( 10,10) 内的零点之和为0；( )f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是_俯视图2左视图211主视图ABCD1D1A1B1CEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 三、解答题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分13 分）在 ABC 中，2ca，120B，且ABC 面积为32（）求 b 的值；（）求 tan A 的值16（本小题满分13 分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期85% 92% 95% 96% （）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x；（）分别从上表每个周期的4 个数据中随机抽取1 个数据，设随机变量X表示取出的3 个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由17（本小题满分14 分）如图 1， 在梯形 ABCD 中，/ABCD ，90ABC，224ABCDBC，O 是边AB的中点将三角形 AOD 绕边 OD 所在直线旋转到1AOD 位置，使得1120AOB，如图 2设 m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线（）判断直线DC 与直线 m 的位置关系并证明；（）若直线m 上的点 G 满足1OGA D ，求出1AG 的长；（）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值AOBCD1图ODCB2图1A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 18（本小题满分13 分）已知(0,2),(3,1)AB是椭圆 G：22221(0)xyabab上的两点（）求椭圆G 的离心率；（）已知直线 l 过点B，且与椭圆 G 交于另一点 C（不同于点A），若以 BC 为直径的圆经过点A，求直线 l 的方程19. （本小题满分14 分）已知函数( )ln1af xxx（）若曲线( )yf x 存在斜率为1的切线，求实数a 的取值范围；（）求( )f x 的单调区间；（）设函数( )lnxag xx，求证：当10a时，( )g x 在 (1,) 上存在极小值20（本小题满分13 分）对于无穷数列na,nb，若1212max,min,(1,2,3,)kkkba aaa aak，则称 nb是na的“ 收缩数列 ”其中，12max,ka aa,12min,ka aa分别表示12,ka aa 中的最大数和最小数已知 na为无穷数列，其前n 项和为nS ，数列 nb是 na的“ 收缩数列 ”( ) 若21nan，求nb的前 n项和；( ) 证明： nb的“ 收缩数列 ”仍是 nb；( ) 若121(1)(1)22nnn nn nSSSab (1,2,3,)n，求所有满足该条件的na海淀区精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分）1.B 2.B 3. C 4.C 5.A 6. B 7.D 8.C 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分，9. 1 i10.15 11.16312.（1,0）；3(1)3yx和3(1)3yx13.6，214.三、解答题（共6 小题，共 80 分）15.（本小题满分13 分）解：（）由ABC 面积公式及题设得1sin2SacB1332222aa，解得1,2,ac由余弦定理及题设可得2222cosbacacB1142 1 2()72，又0,7bb. (不写 b0 不扣分 ) （）在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB得：1321sinsin2147aABb，又120B，所以A是锐角（或：因为12,ac）所以21755 7cos1sin19614AA，所以sin213tan.cos55 7AAA16. （本小题满分13 分）解：（）十二周“水站诚信度”的平均数为x=95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12 100（）随机变量X的可能取值为0， 1，2，3 三个周期 “ 水站诚信度 ” 超过91%分别有 3 次， 2 次， 3 次1212(0)44464P X精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 32112112314(1)44444444464P X32132132330(2)44444444464P X32318(3)44464P X随机变量X的分布列为X0 1 2 3 P1327321532932171590123232323232EX. （） 本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论，1 分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由， 2分. 标准 1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准 2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准 3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好. （1 分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88% 94% 和 80% 85% 看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好. （1 分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可 ) ，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降. （2 分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动. （1 分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6% ）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5% ） . （2 分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动. （1 分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2 分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好. （1 分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好 . （2 分）情况六：以“两次主题活动无法比较作答，只有给出如下理由才给3 分：“ 12 个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 给出其他理由，则结论和理由均不得分（0 分） . 说明：情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1 分，不给理由分2分. 以下情况不得分. 情况七：结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好. 理由：第二次主题活动后诚信度有提高. 其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论 . 17. （本小题满分14 分）解：（）直线DC/ m .证明：由题设可得/ /,CDOB1CDAOB平面，1OBAOB平面，所以/CD平面1A OB. 又因为CD平面1A DC，平面1A DC平面1A OBm所以/ /CDm. 法 1：（）由已知224ABCDBC，O是边AB的中点，/ /ABCD ，所以/CDOB ，因为90ABC，所以四边形CDOB是正方形，所以在图 1 中DOAB，所以结合题设可得，在图2 中有1DOOA ，DOOB，又因为1OAOBO，所以1DOAOB平面. 在平面 AOB 内作 OM 垂直 OB 于M，则DOOM. 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则1(3, 1,0),(0,2,0),(0,0,2)ABD，所以1(3,1,2)A D. 设(3,0)Gm，则由1OGA D可得10A D OG，即(3,1,2) ( 3,0)30mm解得3m. 所以14AG. （）设平面1A BD的法向量( , , )x y zn，则ODCBG1AzxyM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 110,0,A DA Bnn即320,330,xyzxy令1y，则3,1xz，所以( 3,1,1)n，设直线1AO 与平面1A BD 所成角为，则 sin1115cos,5A O nA O nAOn.法 2：（）由已知224ABCDBC，O是边AB的中点，/ /ABCD ，所以/CDOB ，因为90ABC，所以四边形CDOB是正方形，所以在图 1 中DOAB，所以结合题设可得，在图2 中有1DOOA ，DOOB，又因为1OAOBO，所以1DOAOB平面. 又因为1OGAOB平面，所以DOOG.若在直线 m 上的点G满足1OGAD ，又1ODA DD ，所以1OGAOD平面，所以1OGOA ，因为11120 ,/AOBOBAG ，所以160OAG，因为12OA，所以14AG. （注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）（）由（ II ）可知1ODOAOG、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则10,0,0),(2,0,0),( 1,3,0),(0,0,2)OABD（，所以11( 2,0,2),( 3, 3,0,)A DA B设平面1A BD的法向量( , , )nx y z ，则110,0,n A Dn A B即220,330,xzxy令1x，则3,1yz，所以(1, 3,1)n，设直线1AO 与平面1A BD 所成角为，则ODCBG1Azxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word sin1115cos,5AO nAO nAOn.18. （本小题满分13 分）解： （）由已知2,b由点(3,1)B在椭圆 G 上可得29114a，解得212,23aa.所以2228,2 2cabc，所以椭圆 G 的离心率是6.3cea（）法1：因为以BC为直径的圆经过点A，所以ABAC，由斜率公式和(0,2),(3,1)AB可得13ABk，所以3Ack，设直线AC的方程为32yx. 由2232,1124yxxy得2790 xx，由题设条件可得90,7ACxx，所以913()77C -,-，所以直线BC的方程为213yx. 法 2：因为以BC为直径的圆经过点A，所以ABAC，由斜率公式和(0,2),(3,1)AB可得13ABk，所以3Ack，设CCC xy（，） ,则23CAcCykx，即32CCyx由点 C 在椭圆上可得221124CCxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 将代入得2790CCxx，因为点C不同于点A，所以97Cx，所以913()77C -,-，所以直线BC的方程为213yx. 法 3：当直线 l 过点B且斜率不存在时，可得点(3, 1)C，不满足条件. 设直线BC的方程为1(3)yk x，点CCC xy（，）由2213 ,1124ykxkxy可得222(31)6 (13 )3(13 )120kxkk xk，显然0，此方程两个根是点BC和点的横坐标，所以223(13 )12331Ckxk，即22(13 )4,31Ckxk所以22361,31Ckkyk因为以BC为直径的圆经过点A，所以ABAC，即0AB AC. （ 此处用1ABACkk亦可 ）2222963961(3, 1) (,)3131kkkkAB ACkk2236128031kkk，即 (32)(31)0kk，1221,33kk当213k时，即直线AB,与已知点C不同于点A矛盾，所以12,3BCkk所以直线BC的方程为213yx. 19. （本小题满分14 分）解：（）由( )ln1af xxx得221( )(0)axafxxxxx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 由已知曲线( )yf x存在斜率为1的切线，所以( )1fx存在大于零的实数根，即20 xxa存在大于零的实数根，因为2yxxa在0 x时单调递增，所以实数a的取值范围0（ -，） . （）由2( )xafxx，0 x， aR 可得当0a时，( )0fx，所以函数( )f x的增区间为(0,)；当0a时，若(,)xa，( )0fx，若(0,)xa，( )0fx，所以此时函数( )f x的增区间为(,)a，减区间为(0,)a. （）由( )lnxag xx及题设得22ln1( )(ln)(ln)axf xxgxxx），由10a可得 01a，由 ( )可知函数( )f x在(,)a上递增，所以(1)10fa，取ex，显然 e1，(e)lne10eaafe，所以存在0(1,e)x满足0()0f x，即存在0(1,e)x满足0()0g x，所以( ),( )g xg x在区间(1,)上的情况如下：x0(1,)x0 x0(,)x( )g x0 ( )g x极小所以当10a时，( )g x在(1,)上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)axx），因此只需要0ln1x即可）20. （本小题满分13 分）解：（）由21nan可得na为递增数列，所以12121max,min,21322nnnnbaaaa aaaann，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 故nb的前 n 项和为22(1)2nnn n.- （）因为12121max,max,(1,2,3,)nna aaa aan，12121min,min,(1,2,3,)nna aaa aan，所以1211211212max,min,max,min,nnnna aaa aaa aaa aa所以1(1,2,3,)nnbb n. 又因为1110baa，所以12121max,min,nnnnb bbb bbbbb ，所以 nb的“ 收缩数列 ”仍是 nb. （）由121(1)(1)22nnn nn nSSSab (1,2,3,)n可得当1n时，11aa；当2n时，121223aaab，即221baa，所以21aa；当3n时，123133263aaaab，即3213132()()baaaa（*），若132aaa，则321baa，所以由（ *）可得32aa，与32aa矛盾；若312aaa，则323baa，所以由（ *）可得32133()aaaa，所以3213aaaa与同号，这与312aaa矛盾；若32aa，则331baa，由（ *）可得32aa. 猜想：满足121(1)(1)22nnn nn nSSSab (1,2,3,)n的数列na是：1212,1,1,na naaaan. 经验证，左式 =121212(1)12(1)2nn nSSSnananaa，右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222nn nn nn nn nn nabaaanaa. 下面证明其它数列都不满足（）的题设条件. 法 1：由上述3n时的情况可知，3n时，1212,1,1,na naaaan是成立的 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - word 假设ka是首次不符合1212,1,1,na naaaan的项，则1231kkaaaaa，由题设条件可得2212(1)(1)222kkkkk kk kaaab（ *），若12kaaa，则由（ *）式化简可得2kaa与2kaa矛盾；若12kaaa，则2kkbaa，所以由（ *）可得21(1)()2kkk kaaaa所以21kkaaaa与同号，这与12kaaa矛盾；所以2kaa，则1kkbaa，所以由（ *）化简可得2kaa. 这与假设2kaa矛盾 . 所以不存在数列不满足1212,1,1,na naaaan的na符合题设条件. 法 2：当in时，11212max,min,iiiiaaa aaa aab，所以1121()kikiaabbb，(1,2,3, )kn即112()kkSkabbb，(1,2,3, )kn由1(1,2,3,)nnbb n可得(1,2,3, )knbbkn又10b，所以可得1(1)knSkakb (1,2,3,)k，所以12111(2)02(1)nnnnnSSSaanabbbnb，即121(1)(1)22nnnnnnSSSab所以121(1)(1)22nnnnnnSSSab等号成立的条件是1(1,2,3, )iinaabb in，所以，所有满足该条件的数列na为1212,1,1,na naaaan. （说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -