安农大数学建模期末考试复习资料(共5页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上1、设某种新产品要推向市场，t时刻产品销售增长率与销售量x（t）成正比，设市场容量为N，试确定产品销售增长曲线。设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，于是有=kx(N=x)， (10-4-3)其中k为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)= (10-4-4)方程(10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线由=以及=，当x(t*)N时，则有0，即销量x(t)单调增加当x(t*)=时，=0;当x(t*)时，0；当x(t*)时，0即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益2、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A元，银行的年利率为r，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：（1）设月利率为r，按月按复利进行计算，第一个月存款所得的复利终值为=;第二个月存款所得的复利终值为=；第三个月存款所得的复利终值为=；······第五年的最后一个月存款所得的复利终值为=。五年后，养老金为F=+···+=3、某人随身携带了两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n根火柴。每次使用时，随机地从其中一盒中取出一根，试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布规律。 我们不妨把使用一次火柴看作一次试验，每次试验的结果只有两个：取于甲盒（记为 A）和取于乙盒（记为）由于使用时从任一盒中取，因此 假如甲盒已空而乙盒还剩根火柴，则在此之前一定已经取过 2n-r 次，其中恰好有 n 次取于甲盒，有 r 次取于乙盒，而第2n-r+1次必然抓了甲盒，因此这种情况的概率为 假如乙盒已空而甲盒还剩 r 根火柴，同样的道理可得概率为 因此一盒火柴已经用完另一盒中还剩根的概率为 4、在某城市中有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查，其中每年有10%的教师从教师职业转为其他职业，又有1%的其他职业者转入教师职业，试预测10年后这15万人中有多少人还在从事教师职业。（0.8910=0.3118）解：用表示第年后做教师职业和其他职业的人数，则。用矩阵表示教师职业和其他职业间的转移，表示每年有90%的人原来是教师现在还是教师；表示每年有10%的人从教师职业转为其他职业。表示每年有1%其它职业的人转为教师；表示其它职业的人每年有99%的人仍为其他职业。显然即一年后从事教师职业和其他职业的人数人别为1.485万及13.515万.又 所以.为计算先需把对角化。即找出和相似的矩阵。,故可对角化。代入.得其对应特征向量.代入.得其对应特征向量.令 ，有,为的相似矩阵.,而所以10年后.有1.54万人当教师，13.46万人从事其他职业。5、一家石油公司的炼油厂提供两种无铅汽油燃料：无铅高级汽油和无铅普通汽油。炼油厂购买四种不同的石油原料，每种原料的化学成分分析、价格及购买上限见下表： 原料种类含化学成分比例价格（美元/加仑）购买上限（加仑）ABC10.900.070.030.70400020.700.200.100.50600030.100.700.200.65500040.600.300.100.855000无铅高级汽油的售价是1.00美元/加仑，它应至少含有60%的A成分，20%的B成分，而不能超过10%的C成分。无铅普通汽油的售价是每加仑0.90美元，它应至少含有50%的A成分，15%的B成分，而不能超过15%的C成分。公司预测：无铅高级汽油的销售量为6000加仑，无铅普通汽油的销售量为9000加仑。（1） 试建立线性规划模型，确定每种汽油中各种原料的用量，使得公司获得最大的利润；（2） 写出相应的MATLAB求解程序。 设生产无铅高级汽油分别用到4种原料的量为x11,x12,x13,x14 生产无铅普通汽油分别用到4种原料的量为x21,x22,x23,x24 程序如下: model: max=0.3*x11+0.5*x12+0.35*x13+0.15*x14+0.2*x21+0.4*x22+0.25*x23+0.05*x24; !4种原料的购买上限; x11+x21<4000; x12+x22<6000; x13+x23<5000; x14+x24<5000; !A,B,C三种成分的含量的约束; 0.3*x11+0.1*x12-0.5*x13>0; -0.13*x11+0.5*x13+0.1*x14>0; -0.07*x11+0.1*x13<0; 0.4*x21+0.2*x22-0.4*x23+0.1*x24>0; -0.08*x21+0.05*x22+0.55*x23+0.15*x24>0; -0.12*x21-0.05*x22+0.05*x23-0.05*x24<0; !销售的约束; x11+x12+x13+x14<6000; x21+x22+x23+x24<9000; end 8、设层次分析法中某成对比较矩阵为，试计算对应权向量并进行一致性检验。（三阶矩阵随机一致性指标为0.58）9、设某航空公司发展新的航线，需要增加5架波音747客机。如果一次性购入，每架飞机的价格为5000万美金，飞机使用寿命为15年；如果采用租用飞机的方式，每年每架飞机需交纳600万美金的租金，租金以货币均匀流的方式支付。设银行的年利率为12%，试问该公司应该采用购买飞机还是租借飞机的方案。 解：购买一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元而同样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较-我们以当前价值为准。购买一架飞机的当前价为5000万美元。 下面计算均匀货币流的当前价值：设t=0时向银行存入美元，按连续复利计算，t年后的A美元在t=0时的价值为美元，那么，对流量为a的均匀货币流，在t , t+t时所存入的美元，在t=0时的价格是由微元法可知，当t从0变到T时，0,T周期内均匀流在 t=0时的总价值可表示为 因此，15年的租金在当前的价值为 （万美元） 当r=12%时 （万美元） 比较可知，此时租用客机比购买客机合算。 当r=6%时 （万美元） 此时购买客机比租用客机合算专心-专注-专业
