数值计算方法期末考试题(共32页).docx
精选优质文档-倾情为你奉上 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求积公式，则（ ）A B C D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A B C D 1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则 ， .2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 . 1. 9和 2. 3. 4. 5. 三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 1. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1） 写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 1.解 原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 3. 解 ， ，故取作初始值迭代公式为， ， 方程的根 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分. 4 解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为 应用辛卜生公式得 四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度 证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得 得，。所求公式至少有两次代数精确度。 又由于 故具有三次代数精确度。 一、 填空（共20分，每题2分）1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ， 则二阶差商 3. 设, 则 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 。 7、设 ，则 和 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 1、2.31502、3、6 和 4、1.55、6、7、8、 收敛9、10、二、计算题 （共75 分，每题15分）1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足 以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 1、（1） （2） 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 2、由 ，可得 ， 3 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的 4 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： （提示： 利用Simpson求积公式。） 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 5 利用矩阵的LU分解法解方程 组 5、解：三、证明题 （5分）1设 ，证明解 的Newton迭代公式是线性收敛的。 1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有 位有效数字。(2). 对, 差商( )。(3). 设, 则 。(4).牛顿柯特斯求积公式的系数和 。 （1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。 2) 3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。 3）迭代公式 4).（15分）求系数。 4）5). (10分)对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：. 三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。 1）凭你的理解去叙述。2）参看书本99页。一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则 ( ).3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式收敛的充要条件是 。5. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。132.3.4. 5.迭代矩阵， 二、判断题（共10分）1. 若，则在内一定有根。 ( )2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。 ( )3. 若方阵A的谱半径，则解方程组Ax=b 的Jacobi迭代法收敛。 ( )4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则 。 ( )5. 用近似表示产生舍入误差。 ( ) 1.× 2.× 3.× 4. 5.×三、计算题（70分）1. （10分）已知f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=( )，=( ), 插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得( ). 12. （15分） 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。 2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度. 4. （15分）设初值问题 . (1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。 4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。 5 =1+2( ， 一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。5、则。1.相对误差 绝对误差 2. 13. 至少是n b-a 4. 3 5. 1 0二、计算题1、已知函数的相关数据 由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。 解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。 解：3、（15分）确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。4、（15分）已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。 解：设则可得 于是，即。5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。 解：6次；。6、（15分）用列主元消去法解线性方程组 解：即一、填空题（25分）1).设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有 位有效数字。2). ， 。3).求方程根的牛顿迭代格式是 。4).已知,则 , 。5). 方程求根的二分法的局限性是 。 1）4； 2）1，0； 3）； 4）7, 6；5）收敛速度慢，不能求偶重根。 二、计算题1).（15分）已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；(2)求， 使。 解：2).（15分）试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。 解：由等式对精确成立得：,解此方程组得 又当时 左边右边 此公式的代数精度为2 3).（15分）取步长h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题 3）梯形法为即 迭代得4). （15分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值. 解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得5). （15分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。 5). 解：是的正根，牛顿迭代公式 为， 即 取x0=1.7, 列表如下：一、填空题( 每题4分，共20分)1、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式为 。2、则。3、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。5、按四舍五入原则数2.与8.具有五位有效数字的近似值分别为 和 。 1、3 2、 3、 14、至少是n 5、 二、计算题1、（10分）已知数据如下： 求形如拟合函数。 解：2、（15分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。 解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得 。3、（15分）利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。 解：4、（15分）已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算。 （2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得故代数精度是3次。（3）由（2）可得：。(1)所求插值型的求积公式形如：。5、（15分）讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中. 解： 三、简述题（本题 10 分）叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？ 解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。 误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。 一、 填空（共25分，每题5分）1、，则A的谱半径 2、设则 和 3、若 x = 1., ，则x*的近似数具有 位有效数字. 4、抛物线求积公式为 . 5、设可微，求方程根的牛顿迭代公式是 。 1、； 2、；3、4；4、；5、.二、计算题1).（15分）设 （1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足, 以升幂形式给出。（2）写出余项的表达式 （1）（2）2).（15分）设有解方程的迭代法: , （1） 证明,均有（为方程的根）；（2） 取用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 （1）（2）取，则有各次迭代值 取，其误差不超过（3） 故此迭代为线性收敛。3). (15分) 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度 . 令代入公式精确成立，得；解得，得求积公式对；故求积公式具有2次代数精确度。4).（15分）用Gauss消去法求解下列方程组 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。；故. 5).（15分） 已知方程组，其中（1） 试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。（2） 若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。 （1），因此两种迭代法均收敛。（2）当时，该迭代公式收敛。专心-专注-专业
