泛函分析题目集(共5页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上泛函分析复习题一选择题：1. 设 是希尔伯特空间H上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( )A. 线性无关；B. 对任何的， 都有；C. 任意两组数，都有 ；D. ，。2. 下列关于空间（且）的论述不正确的是（ ）A. 空间是一个赋范线性空间；B. 空间是完备的；C. 空间是距离空间；D. 空间是希尔伯特空间。3. 下列关于空间的论述不正确的是（ ）A. 空间是一个赋范线性空间；B. 空间不一定完备的；C. 空间是内积空间；D. 空间是可分的。4. 设为一个实赋范线性空间，为他上面的范数，则下面不正确的是（ ）A. 对任何，都有，B. 对任何，都有 ，C. 对任何，都有，D. 对任何，都有。5. 设为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. 和空集都是开集；B. 任意多个开集的并还是开集；C. 任意多个开集的交也是开集；D. 有限多个开集的交也是开集。6. 设为一个距离空间，下面不正确的是（ ）A. 和空集都是闭集；B. 任意多个闭集的并还是闭集；C. 任意多个闭集的交也是闭集；D. 有限多个闭集的并也是闭集。7. 下面论述正确的是（ ）A. 紧集不一定是有界的。B. 紧集的子集一定是紧集。C. 任一距离空间中的紧集本身是一个完备的距离空间。D. 连续映射有可能将紧集映成非紧集。8. 下面为不可分距离空间的是（ ）A B. () C. D. 9. 设为实数域，那么下面正确的是（ ）A. B. C. D. 与之间没有相互包含关系。10. 设为有界闭区间，那么下面正确的是（ ）A. B. C. D. 与之间没有相互包含关系。二判断题：1. 任何紧集都是有界的。 （ ）2. 紧集的子集还是紧集。 （ ）3. 希尔伯特空间不一定是巴拿赫空间。 （ ）4. 实的可分希尔伯特空间一定与实的空间同构。 （ ）5. 可分希尔伯特空间中的规范正交系中向量最多可数个。 （ ）6. 设为实数域上的闭区间，那么在 （）中稠密。 （ ）7. 设为实数域上的闭区间，为区间上的所有多项式函数的集合，那么在 （）中不稠密。 （ ）8. 设为实数域上的闭区间，为区间上的所有多项式函数的集合，那么在中稠密。 （ ）9. 同一个线性空间可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。（ ）10. 可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。 （ ）三概念题：1. 什么是距离空间？举两个距离空间的例子。2. 什么是赋范线性空间和巴拿赫空间？举两个巴拿赫空间的例子。3. 什么是距离空间中的准紧集和紧集？4. 什么是内积空间和希尔伯特空间？举两个希尔伯特空间的例子。5. 内积空间的规范正交系的定义什么？6. 写出（）空间中范数的定义。7. 什么是赫尔德不等式？8. 什么是距离空间的可分性？四 计算或证明题：1. 设是一个希尔伯特空间，为的一个子集。证明 是的一个闭子空间。（下册P98）2. 设，证明的傅里叶变换是有界连续函数。（上册P251）3. 设为一个距离空间。试证： （1）若中点列收敛于，则任何子列也收敛于。 （2）若中点列为一个Cauchy列，并且存在一个子列收敛，极限为，则也收敛，极限也为。（下册P12）4. 设为一个距离空间，为任一给定的点，则是到的连续映射。（下册P20）5. 设为一个希尔伯特空间，其上的内积为。试证：对于 ，是关于，的连续函数。（下册P89）6. 试在上定义一个范数（给出证明），使其成为一个巴拿赫空间（给出证明）。（下册P75，P77）7. 设为一个希尔伯特空间，证明：的充分必要条件是对任何的数，有。（下册P123习题23）8. 设，为满足的三个正数。证明：对任何可测函数，有。（上册P269， 15题）9. 计算函数的傅里叶变换。（上册P250）10. 举一个不可分巴拿赫空间的例子？并证明它为什么不可分。（下册P18，例5，或下册P120，习题5）11. 证明内积空间中的任何规范正交系都是线性无关的。（下册 P123， 28题）12. 设空间中的范数为（）。证明此范数下不能导出一个内积。 （下册P97，例5）13. 设为一个赋范线性空间，其上的范数为，证明以下命题：（1）范数是的连续函数；（2）设，（）与都是中的元素，且，那么；（3）设数列， （）及都是中的元素，且，那么.（下册P73，性质(i)(ii)(iii)）14. 设按照距离为距离空间，非空。令 （）.证明是上的连续泛函。 （下册P63，习题4）15. 设按照距离为距离空间，为中的收敛点列，证明：（1）的极限唯一；（2）对任意的，数列有界。 （下册P11，定理1.1）专心-专注-专业