高考圆锥曲线中的定点、定值问题.docx

高考圆锥曲线中的定点、定值问题 摘 要: 圆锥曲线定点、定值问题一直是高中数学教学工作中的难点和重点，也是历年高考的重要内容之一.本文结合教学工作的实际情况，针对圆锥曲线的定点和定值问题进行研究.关键词: 圆锥曲线; 定点; 定值在我们的印象中,圆锥曲线中定点、定值问题的计算繁琐,求解的思路难找,很多同学在解答圆锥曲线中的定点、定值问题时,经常会无法顺利求得问题的答案. 其实解答圆锥曲线中定点、定值问题主要有2种方法: 第一，先猜后证，即特殊化法，先根据特殊位置或特殊数值求出定点或定值，再证明这个点或值与变量无关;第二，直接推理计算，在推理计算过程中消去变量得到定点或定值，此法解题的关键在于找到问题中的结论与题设之间的关系，建立合理的方程或函数，再利用等量关系统一变量，最后通过消元得到结果。一、定点问题例1（2020年全国I卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【分析】（1）由已知可得：， ，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）这是一个求定点的问题.根据题意可得,设点 P 的坐标（6，t ）而 C，D 是直线 AP 和 BP 与椭圆相交所得，联立方程即可得到 C，D 两点的坐标，从而得到直线的方程，判断直线 CD 是否过定点.【解析】(1)由题设得A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)则(a,1)，(a，1)由·8，得a218，即a3.所以E的方程为y21.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3.由于直线PA的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线PB的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20.将xmyn代入y21，得(m29)y22mnyn290.所以y1y2，y1y2.代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2·(m29)0.解得n3(舍去)或n.故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点.若t0，则直线CD的方程为y0，过点.综上，直线CD过定点.求解定点问题，常常需要设出问题中定点的坐标或者定点相关的量，根据题目中的条件与所求目标之间的关系，然后通过解方程等求得定点的坐标. 二、定值问题例2（2020年北京卷）已知椭圆过点，且（）求椭圆C的方程：（）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点求的值【分析】()由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；()首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【解析】()设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.()当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以设，联立得由题意知，所以且由题意知直线的斜率存在当时，同理，所以因为，所以在求解定值问题时，我们运用“设而不求”的思想方法，即引入参变量，用它来表示有关量，进而看能否把变量消去“先猜后证”法是解决这类问题的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定点，进而证明它适用所有情形虽然圆锥曲线问题的运算量大,解题过程繁琐,但是我们只要理清了解题的思路, 通过层层分析，抽丝剥茧，找到问题的本质，便能从容应对这两类问题.学科网（北京）股份有限公司