数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率(共10页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上第十章 定积分的应用3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=. 如图所示，在C上从A到B依次取分点：A=P0,P1,P2,Pn-1,Pn=B，它们成为曲线C的一个分割，记为T. 用线段联结T中每相邻两点，得到C的n条弦Pi-1Pi(i=1,2,n)，这n条弦又成为C的一条内接折线，记：=|Pi-1Pi|，sT=，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义1：对于曲线C的无论怎样的分割T，如果存在有限极限：sT=s，则称曲线C是可求长的，并把极限s定义为曲线C的弧长.定义2：设平面曲线C由参数方程x=x(t), y=y(t), t,给出. 如果x(t)与y(t)在,上连续可微，且x(t)与y(t)不同时为零(即x2(t)+y2(t)0, t,)，则称C为一条光滑曲线.定理10.1：设曲线C由参数方程x=x(t), y=y(t), t,给出. 若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为：s=dt.证：对C作任意分割T=P0,P1,Pn，并设P0与Pn分别对应t=与t=, 且Pi(xi,yi)=(x(ti),y(ti), i=1,2,n-1.于是，与T对应得到区间,的一个分割T： =t0< t1<t2<tn-1<tn=.在T所属的每个小区间i=ti-1,ti上，由微分中值定理得x i=x(ti)-x(ti-1)=x(i)t i, ii；y i=y(ti)-y(ti-1)=y(i)t i, ii.从而C的内接折线总长为sT=t i.记i=-，则sT=t i.又由三角形不等式可得：|i|y(i)|-|y(i)|y(i)-y(i)|.由y(t)在,上连续，从而一致连续，对任给的>0, 存在>0，当<时，只要i, ii，就有|i|y(i)-y(i)|<, i=1,2,n.|sT-t i |=|t i |t i<,sT=t i，即s=dt.注：1、若曲线C由直线坐标方程y=f(x), xa,b表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), xa,b. 因此，当f(x)在a,b上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=dx.2、若曲线C由极坐标方程r=r(), ,表示，则化为参数方程：x=r()cos, y=r()sin, ,.由x()=r()cos-r()sin, y()=r()sin+r()cos, 得：x2()+y2()=r2()+r2()，当r()在,连续，且r()与r()不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线，其弧长公式为：s=d.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：x(t)=a-acost; y(t)=asint. x2(t)+y2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin2.其弧长为s=dt=4ad=8a.例2：求悬链线y=从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：y=. 1+y2=.其弧长为s=dx=.例3：求心形线r=a(1+cos) (a>0)的周长.解：r()=-asin. r2()+r2()=4a2cos2.其周长为s=d=4ad=8a.注：s(t)=dt连续，=，即有ds=. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在RtPQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。二、曲率：考察右上图由参数方程x=x(t), y=y(t), t,给出的光滑曲线C上，与长度相近，但弯曲程度差别较大，可见当动点沿曲线C从点P移至Q时，切线转过的角度比动点从Q移至R时切线转过的角度要大得多.设(t)表示曲线在点P(x(t),y(t)处切线的倾角，=(t+t)-(t)表示动点由P沿曲线移至Q(x(t+t), y(t+t)时切线倾角的增量，若之长为s，则称=为弧线的平均曲率. 如果存在有限极限K=，则称此极限K为曲线C在点P处的曲率.由于假设C为光滑曲线，所以总有(t)=arctan或(t)=arccot.又若x(t)与y(t)二阶可导，则由弧微分可得：=. 曲率的公式为：K=.注：若曲线由y=f(x)表示，则相应的曲率公式为：K=.例4：求椭圆x=acost, y=bsint, 0y2上曲率最大和最小的点.解：x(t)=-asint, x”(t)=-acost；y(t)=bcost, y”(t)=-bsint.x2(t)+y2(t)=a2sin2t+b2cos2t=a2+(b2-a2)cos2t；x(t)y”(t)-x”(t)y(t)=absin2t+abcos2t=ab.K=.当cos2t=0时，K=；当cos2t=1时，K=.Kmax=max,；K min=min,.注：1、当a=b=R时，椭圆变成圆，则曲率K=. 2、直线上处处曲率为0.定义：设曲线C在某一点P处的曲率K0. 若过P作一个半径为=的圆，使它在P处与曲线有相同的切线，并在点P近旁与曲线位于切线同侧。我们把这个圆称为曲线C在点P处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径和圆心称为曲线C在点P处的曲率半径和曲率中心。铁路弯道分析：火车轨道从直道进入到半径为R的圆弧形弯道时，为了行车安全，必须经过一段缓冲轨道，使得曲率由零连续地增加到，以保证火车的向心加速度(a=)不发生跳跃性的突变。如图，x轴负半轴表示直线轨道，是半径为R的圆弧形轨道(点Q为其圆心)，为缓冲轨道。我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线y=. 其中l是的弧长. 它的曲率K=.当x从0变为x0时，曲率K从0连续地变为K0=.当x0l，且很小时，K0. 因此由的曲率从0逐渐增加到接近于，从而起了缓冲作用。习题1、求下列曲线的弧长：(1)y=,0x4；(2)+=1；(3)x=acos3t, y=asin3t(a>0),0t2；(4)x=a(cost+tsint), y=a(sint-tcost)(a>0), 0t2；(5)r=asin3(a>0), 03；(6)r=a(a>0), 02.解：(1)y=；弧长S=dx=(10-1).(2)y=1-2+x, 0x1，y=1-；弧长S=dx=2d=1+ln(1+).(3)x=-3asintcos2t, y=3acostsin2t；x2+y2=9a2(sin2tcos4t+cos2tsin4t)=9a2sin2tcos2t=a2sin22t.弧长S=ad2t=6a.(4)x=a(sint+tcost-sint)=atcost, y=a(cost-cost+tsint)=atsint；x2+y2=a2t2. 弧长S=adt=22a.(5)r=asin2cos；r2+r2=a2 sin4.弧长S=3ad=a.(6)r=a，弧长S=ad=a+aln(2+).2、求下列各曲线在指定点处的曲率：(1)xy=4, 在点(2,2)；(2)y=lnx, 在点(1,0)；(3)x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0),在t=的点；(4)x=acos3t, y=asin3t(a>0), 在t=的点.解：(1)y=, y=-, y”=, K=.当x=2时，K=.(2)y=, y”=-, K=.当x=1时，K=-.(3)x=a(1-cost)=a, x”=asint=a; y=asint=a, y”=acost=0；当t=时，K=.(4)x=-3acos2tsint=-a, x”=3a(2costsin2t-cos3t)=a; y=3asin2tcost=a, y” =3a(2sintcos2t-sint3t)=a；当t=时，K=.3、求a,b的值，使椭圆x=acost, y=bsint的周长等于正弦曲线y=sinx在0x2上一段的长.解：当dt=dt时，=，a=1, b=; 或a=, b=1.4、设曲线由极坐标方程r=r()给出，且二阶可导，证明它在点(r, )处的曲率为K=.证：化为参数方程：x=f()cos, y=f()sin, 则x=f()cos-f()sin,x”=f”()cos- f()sin-f()sin- f()cos=f”()-f()cos-2f()sin.y=f()sin+f()cos=f()sin+f()cos,y”=f”()sin+ f()cos+f()cos-f()sin=f”()-f()sin+2f()cos.x2+y2=f()cos-f()sin2+f()sin+f()cos2=f2()-2f()cosf()sin+2f()sinf()cos+f2()=r2+r2.xy”=f()cos-f()sin f”()-f()sin+2f()cos=f()f”()sincos-3f()f()sincos+2r2cos2-rr”sin2+r2sin2;x”y=f”()-f()cos-2f()sinf()sin+f()cos=f()f”()sincos+rr”cos2-3f()f()sincos-r2cos2-2r2sin2.xy”-x”y=r2+2r2-rr”.K=.5、用上题公式，求心形线r=a(1+cos)(a>0)在=0处的曲率、曲率半径和曲率圆.解：r=2a, r=0, r”=-a,K=.曲率半径：R=.曲率圆圆心在x轴上，曲率圆为：(x-)2+y2=.6、证明抛物线y=ax2+bx+c在顶点处的曲率最大.证：该抛物线的曲率为：K=.当2ax+b=0，即x=-时，曲率最大. 得证.7、求y=ex上曲率最大的点.解：K=. 当K=0时，x=-.又当x<-时，K>0; 当x>-时，K<0；y=ex在(-,)处曲率最大.专心-专注-专业
