数学分析之数列极限(共26页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第二章数列极限 教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 定义证明有关命题，并能运用 语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性； 教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 定义及其应用. 教学时数：14学时 § 1 数列极限的定义 教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的定义及其应用。教学时数：4学时一、 引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入 二、 讲授新课： （一）数列：1.数列定义整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列. （二） 数列极限: 以 为例. 定义 ( 的 “ ”定义 )定义 ( 数列 收敛的“ ”定义 )注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法. 例1 例2 例3 例4 证 注意到对任何正整数 时有 就有 于是，对 取 例5  证法一 令 有 用Bernoulli不等式，有 或 证法二 （用均值不等式） 例6 证 时， 例7 设 证明 （四）收敛的否定:   定义 ( 的“ ”定义 ).定义 ( 数列 发散的“ ”定义 ).例8 验证 （五）数列极限的记註: 1.  满足条件“ ”的数列2.  改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 3.  数列极限的等价定义: 对 任有理数 对任正整数 （六）无穷小数列: 定义.Th2.1 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ).  § 2 收敛数列的性质（4学时） 教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学重点、难点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。教学时数：4学时一. 收敛数列的性质:   1.  极限唯一性：（ 证 ）  2.  收敛数列有界性 收敛的必要条件：（ 证 ）  3.  收敛数列保号性：  Th 1 设 若 则 （ 证 ）由于已知条件中对都成立，而结论是比较数列项的关系，证明时只需找到一个，使与之对应的N满足条件即可！ 系1 设 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情况 ）.由于结论是比较数列极限的关系，证明时必须对都成立！ 系2 设 或. 则对(或 (或 系3 若 则对 绝对值收敛性见后. 4.      迫敛性 ( 双逼原理 ): Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 ) 5.      绝对值收敛性: Th 3 ( 注意反之不正确 ). ( 证 ) 系 设数列 和 收敛, 则 ( 证明用到以下6所述极限的运算性质 ).  6.      四则运算性质:   Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 )  7. 子列收敛性: 子列概念.Th 5(数列收敛充要条件) 收敛的任何子列收敛于同一极限. Th 6 (数列收敛充要条件) 收敛子列和收敛于同一极限. Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 子列 、 和 都收敛. ( 简证 )二.  利用数列极限性质求极限: 两个基本极限： 1利用四则运算性质求极限： 例1 註： 关于 的有理分式当 时的极限情况例2  填空: 例3 例4 2.  双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅4P53.   例5 求下列极限: 例6 ( 例7 求证 例8 设 存在. 若 则 三.  利用子列性质证明数列发散: 例9 证明数列 发散.  § 3 收敛条件（4学时） 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。教学要求：1. 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；2. 初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。教学难点：相关定理的应用。教学方法：讲练结合。一数列收敛的一个充分条件 单调有界原理：回顾单调有界数列.  Th 1 ( 单调有界定理 ). ( 证 )例1 设 证明数列 收敛.例2 ( 重根号),证明数列 单调有界, 并求极限. 例3 求 ( 计算 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有有下界;注意到对 有 有 ,  二、 收敛的充要条件Cauchy收敛准则：   1Cauchy列：   2Cauchy收敛准则： Th 2 数列 收敛， （ 或数列 收敛，Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy列. (此处“就是”理解为“等价于”). ( 简证必要性 ) 例4 证明:任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛. 其中 是 中的数.证 令 有 例5 设 试证明数列 收敛.三. 关于极限 证明留在下节进行.例6 例7 例8 四.  数列 单调有界证法欣赏: Cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一.证法一 （ Riemann最先给出这一证法） 设 应用二项式展开，得 ，+ 注意到 且 比 多一项 即 . 有界.综上, 数列 单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.  证法二 ( 利用Bernoulli不等式 )注意到Bernoulli不等式 为正整数 ), 有 由 利用Bernoulli不等式,有 .为证 上方有界, 考虑数列 可类证 . 事实上, (此处利用了Bernoulli不等式 ) .显然有 有 即数列 有上界.评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式 中, 令 就有 即 .令 可仿上证得 时 , ( 时无意义, 时诸 = , 不能用均值不等式. ) 当 时, 由 由 . < 4.证法四 ( 仍利用均值不等式 ) < 即 . 有界性证法可参阅上述各证法.证法五 先证明：对 和正整数 ，有不等式 事实上， < 该不等式又可变形为 ( 为正整数 )在此不等式中, 取 则有 就有 . 取 又有 对 成立， 又由 评註: 该证法真叫绝 . 1采用这一证法. 小结、习题（2学时）第三章 函数极限   教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的定义及其应用。一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限： 以 时 和 为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义 ( 和 . ) 几何意义 介绍邻域其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证 （二） 时函数 的极限： 由 考虑 时的极限引入. 定义 函数极限的“ ”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5 验证 例6 验证 证 由 = 为使 需有 为使 需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限:   1定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证 考虑使 的 2.  单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限 不存在. 例11 设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证. 二、讲授新课： （一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.   1.  唯一性:   2.  局部有界性:  3.  局部保号性:   4.  单调性( 不等式性质 ):  Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域 , 使 ，都有 证 设 = ( 现证对 有 ) 註: 若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有 以 举例说明.   5.       迫敛性:   6.       四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”) （二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：  （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.  利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ( 利用极限 和)例2 例3 註: 关于 的有理分式当 时的极限. 例4 利用公式 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求和 补充题:已知 求和 ( ) § 3 函数极限存在的条件（4学时） 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 为例.一.  Heine归并原则函数极限与数列极限的关系： Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )注意自变量各种变化形式下对应的Heine归结原则的形式。（包括连续时）  Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅1P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明 例3 证明 不存在.二.  Cauchy准则: Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域 内有定义.则存在, 证 ( 利用Heine归并原则 )Cauchy准则的否定: 不存在的充要条件.例4 用Cauchy准则证明极限 不存在.证 取 例5 设在 上函数 . 则极限 存在, 在 上有界. ( 简证, 留为作业 ). §4 两个重要极限（2时） 教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点：两个重要极限的证明及运用。教学难点：两个重要极限的证明及运用。教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一 （证） （同理有 ）例1 例2 .例3 例4 例5 证明极限 不存在.二. 证 对 有 例6 特别当 等. 例7 例8 例9 §5无穷小量与无穷大量 阶的比较（2学时） 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。一.  无穷小量: 定义. 记法.  例1 判断: 可怜虫是很小很可怜的虫; ( )  无穷小量是很小很小的量. ( )  无穷小的性质:   性质1 ( 无穷小的和差 )  性质2 ( 无穷小与有界量的积 )例2 无穷小与极限的关系: Th 1 ( 证 )二. 无穷小的阶: 设 时 1 高阶（或低阶）无穷小：   2 同阶无穷小：   三 等价无穷小：   Th 2 ( 等价关系的传递性 ).  等价无穷小在极限计算中的应用:   Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )   几组常用等价无穷小: （见2）例3 时, 无穷小 与 是否等价?例4 四. 无穷大量:   1. 定义:   2. 性质:   性质1 同号无穷大的和是无穷大.  性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.  性质3 与无界量的关系.  无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.  3.  无穷小与无穷大的关系:   无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大习 题 课（2学时） 一、理论概述： 二、范例讲析： 例1 设数集无界.试证明:存在数列使例2 设 为定义在 上的递增函数. 证明: 极限 存在的充要条件是函数 在 上有上界.例3  证明: 对 其中是Riemann函数.例4 设函数定义在 内, 且满足条件 >> 对 有 试证明 是 内的常值函数. 例5 求极限注意= 有界 例6 求 和 .解法一 又 解法二 ， 由 且原式极限存在，即 .例7 . 求 .注意 时, 且 . 先求 由Heine归并原则即求得所求极限. 例8 求和.并说明极限 是否存在.解 ; 可见极限 不存在.专心-专注-专业