数列的概念及简单表示方法(共13页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上§6.1数列的概念及简单表示法1 数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_>_an其中nN递减数列an1_<_an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法4 数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5已知Sn，则an.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)数列：1,0,1,0,1,0，通项公式只能是an.(×)(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN，都有an1Sn1Sn. ()(5)在数列an中，对于任意正整数m，n，amnamn1，若a11，则a22.()(6)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()2 设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为 ()A15 B16 C49 D64答案A解析Snn2，a1S11.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.an2n1，a82×8115.3 已知数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，且a11，那么a10等于 ()A1 B9 C10 D55答案A解析SnSmSnm，a11，S11.可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1.即当n1时，an11，a101.4 (2013·课标全国)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.当n1时，也符合an(2)n1.综上，an(2)n1.5 (2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan，若a11，a22，则数列an的通项公式是_答案an由相似三角形面积比是相似比的平方知OAOA2OA，即aa2a，因此a为等差数列且aa3(n1)3n2，故an.题型一由数列的前几项求数列的通项例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.思维启迪先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n·.也可写为an(4)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想(1)数列1,7，13,19，的一个通项公式是an_.(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_.答案(1)(1)n·(6n5)(2)解析(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列an的前4项可变形为，故an.题型二由数列的前n项和Sn求数列的通项例2已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.思维启迪当n1时，由a1S1，求a1；当n2时，由anSnSn1消去Sn，得an1与an的关系转化成由递推关系求通项解(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an2·3n1；当b1时，an思维升华数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an解析当n1时，a1S13×122×112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an题型三由数列的递推关系求数列的通项公式例3(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_.(3)在数列an中，a11，前n项和Snan.则an的通项公式为_思维启迪观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式答案(1)1(2)2×3n11(3)an解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)方法一(累乘法)an13an2，即an113(an1)，即3，所以3，3，3，3.将这些等式两边分别相乘得3n.因为a11，所以3n，即an12×3n1(n1)，所以an2×3n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an2×3n11.方法二(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)2×3n(n1)，所以an2×3n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an2×3n11.(3)由题设知，a11.当n>1时，anSnSn1anan1.，3.以上n1个式子的等号两端分别相乘，得到，又a11，an.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解(1)已知数列an满足a11，anan1(n2)，则an_.(2)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN)，则a5等于 ()A16 B16 C31 D32答案(1)(2)B解析(1)anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1····.(2)当n1时，S12a11，a11.当n2时，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比数列且a11，q2，故a5a1×q42416.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列an(1)若ann25n4，数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且对于nN，都有an1>an.求实数k的取值范围思维启迪(1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N上单调递增，但自变量不连续从二次函数的对称轴研究单调性规范解答解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nN，n2,3.数列中有两项是负数，即为a2，a3.4分ann25n42的对称轴方程为n.又nN，当n2或n3时，an有最小值，其最小值为a2a32.8分(2)由an1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN，所以<，即得k>3.12分温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为k>2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1 求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2 强调an与Sn的关系：an.3 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式失误与防范1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的2 数列的通项公式不一定唯一A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 数列0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式是an等于()A. Bcos Ccos Dcos 答案D解析令n1,2,3，逐一验证四个选项，易得D正确2 数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6等于()A3×44 B3×441C45 D451答案A解析当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列又a23S13a13，an当n6时，a63×4623×44.3 若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析由题意知，a1a2a1014710(1)10×(3×102)(14)(710)(1)9×(3×92)(1)10×(3×102)3×515.4 已知数列an的通项公式为an()n1()n1，则数列an()A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案C解析数列an的通项公式为an()n1()n1，令t()n1，t(0,1，t是减函数，则ant2t(t)2，由复合函数单调性知an先递增后递减故有最大项和最小项，选C.5 若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则等于()A. B.C. D30答案D解析当n2时，anSnSn1，所以5×630.二、填空题6 已知数列，则0.98是它的第_项答案7解析0.98，n7.7 数列an中，a11，对于所有的n2，nN，都有a1·a2·a3··ann2，则a3a5_.答案解析由题意知：a1·a2·a3··an1(n1)2，an()2(n2)，a3a5()2()2.8 已知an是递增数列，且对于任意的nN，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_答案(3，)解析方法一(定义法)因为an是递增数列，所以对任意的nN，都有an1>an，即(n1)2(n1)>n2n，整理，得2n1>0，即>(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需>3.方法二(函数法)设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)<f(2)，即>3.三、解答题9 数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n4时，a4424×766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项(3)令ann27n6>0，解得n>6或n<1(舍)故数列从第7项起各项都是正数10已知数列an的通项公式为an，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由解an1an·，当n<8时，an1an>0，即an1>an；当n8时，an1an0，即an1an；当n>8时，an1an<0，即an1<an.则a1<a2<a3<<a8a9>a10>a11>，故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为()A8种 B13种 C21种 D34种答案C解析设跳到第n个格子的方法种数有an，则到达第n个格子的方法有两类：向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an1；向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an2，则anan1an2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2 数列an满足anan1 (nN)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为()A5 B. C. D.答案B解析anan1(nN)，a1a22，a22，a32，a42，故a2n2，a2n12.S2110×a152.3 若数列n(n4)()n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析由题意得，所以，由kN可得k4.4 已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解(1)a12，anSnSn12n1(n2)bn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn<0，cn是递减数列5 设数列an的前n项和为Sn.已知a1a，an1Sn3n，nN.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN，求a的取值范围解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)即bn12bn，又b1S13a3，因此，所求通项公式为bnSn3n(a3)2n1，nN.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n22×3n1(a3)2n2，an1an4×3n1(a3)2n22n212()n2a3，当n2时，an1an12()n2a30a9.又a2a13>a1.综上，所求的a的取值范围是9，)专心-专注-专业