2022年最新勾股定理复习讲义.pdf

精品文档精品文档勾股定理复习讲义【中考命题趋势】本章内容在中考中多以填空题与选择题的形式出现，应结合直角三角形的有关性质、三角函数知识进行线段的计算或证明，近几年来，以实际问题为背景的探究题、材料分割题、实际应用题、网格试题不断涌出，题目多以中档题为主，这也是今后中考试题发展的重要趋势。【知识点归纳】1234561、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理相关概念性质（ 1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有222cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（3）勾股定理的验证abcabcabcabcabababba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例题：例 1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在 RtABC中， C=90若 a=5，b=12，则 c=_；若 ab=34，c=10 则 RtABC的面积是 =_。（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2，2n（n1） ，那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、 n21 D、1n2（3）在 RtABC中， a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222abcB. 222acbC. 222cbaD.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、 7 D、7 或 25 例 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5 和 12，则它斜边上的高为_。（2）已知 RtABC中， C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是（）A、242cmB、36 2cmC、482cmD、602cm考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数： （3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n).（ n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例 1：勾股数的应用（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8， 15，17 （2）若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（）A、234 B、346 C、51213 D、46 7 例 2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（1）下面的三角形中：ABC中， C=AB； ABC中， A： B： C=1：2：3；ABC中， a：b：c=3：4：5； ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（2）若三角形的三边之比为21:122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形（3）已知 a，b，c 为 ABC三边，且满足 (a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形（5）若 ABC的三边长 a,b,c 满足222abc20012a16b20c，试判断 ABC的形状。（6）ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数， 且 a+b+c 是 3 的倍数， 则 c 应为，此三角形为。例 3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例 1：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 ABCDES2S3S1ABCS3S2S1（图 1）（图 2）（图 3）（2）如图， ABC 为直角三角形，分别以AB，BC，AC 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. 以上都不是（3）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1 例 2：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树10m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？CADB例 3：最短路程问题（1）如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档小虫从 A 点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。 （结果保留根式）（2）如图 2，有一个长、宽、高为3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。ABCDBA（图 1）（图 2）例 4：航海问题（1）一轮船以16 海里 /时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12 海里 /时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5 小时后，它们相距_海里（2）如图 1，某货船以24 海里时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东 60的方向上。该货船航行30 分钟到达 B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。东北3060BACMDDBCA（图 1）（图 2）（3）如图 2， 某沿海开放城市A 接到台风警报， 在该市正南方向260km 的 B处有一台风中心， 沿 BC方向以 15km/h的速度向 D 移动，已知城市A 到 BC的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例 5：网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A0 B1 C2 D3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（2）如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为1，则 ABC是 （）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1 的正方形 ,则四边形 ABCD的面积是( ) A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 BCAABCDCBA（图 1）（图 2）（图 3）例 6：图形问题（1）如图 1，求该四边形的面积（2） （2010 四川宜宾） 如图 2，已知，在ABC中，A= 45，AC= 2，AB= 3+1，则边 BC 的长为431213BCDA（图 1）（图 2）（3）某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中 =2.3， =2,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由. （4） （太原） 将一根长 24 的筷子置于底面直径为5 ，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h ，则 h 的取值范围。【中考链接】1.（2010 广西钦州市） 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将 ABC折叠，使点B与点 A 重合，折痕为DE，则 BE的长为（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2. 等边三角形的边长为6，则它的高是 _33_ 3. 如图， 正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、8、5（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）甲乙4. （2010 辽宁丹东市） 已知ABC是边长为1 的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是l321S4S3S2S15、已知在 ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则 ABC的周长为48 或 36 钝角锐角6在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示 )已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4_7、图示是一种 “ 羊头 ” 形图案，其作法是，从正方形1 开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和 2 ， ，依次类推，若正方形7 的边长为 1cm，则正方形1 的边长为_cm. ABCDEFG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档8一个直角三角形，有两边长分别为6 和 8，下列说法正确的是（D ）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 9已知 x、y 为正数，且 x2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（C ）A、5 B、25 C、7 D、1510已知两条线段的长为5cm 和 12cm,当第三条线段的长为 13或119cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形 .11、已知：如图，四边形ABCD中， AB=20 ，BC=15 ，CD=7 ，AD=24 ，B=90 ，求证：A+C=180 。12、如图， ABC中， C90o，AD 是角平分线，ABDE于 E ，CD15，BD25求 AC的长13.（2010 荷泽） 如图所示，在RtABC中， C90， A30， BD 是 ABC的平分线， CD5 ，求 AB 的长ABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档14. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“ 弦图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” （如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD ，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2的值是103【考点】勾股定理的证明【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案【解答】解：图中正方形ABCD ，正方形EFGH，正方形 MNKT的面积分别为S1，S2，S3，CG=NG ，CF=DG=NF ，S1=（CG+DG ）2=CG 2+DG 2+2CG?DG， =GF 2+2CG?DG，S2=GF 2，S3=（NG-NF ）2=NG 2+NF 2-2NG?NF，S1+S2+S3=10=GF 2+2CG?DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG?NF，=3GF 2，S2的值是：103故答案为：10315如图，已知：等腰ABC中，底边BC20，D 为 AB 上一点， CD16，BD12 求：(1) ABC的周长(2) ABC的面积A B C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档16 （2009 年咸宁市） 问题背景：在 ABC中， AB、BC 、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1） ，再在网格中画出格点ABC（即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将 ABC的面积直接填写在横线上_ 思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法若 ABC三边的长分别为5a、2 2a、17a（a0） ，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积探索创新：（3）若 ABC 三边的长分别为2216mn、2294mn、222 mn（00mn，且mn） ，试运用构图法求出这三角形的面积（图）（图）第 6 题图A C B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档17如图， 点 A 是 55 网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以 A 为其中的一个顶点，面积等于25的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是（D ） 。A、10 个B、12 个C、14 个D、16 个19 （2009 恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷()AA(第 12 题图 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档和世界级自然保护区星斗山( )B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（ 1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P） ，P到A、B的距离之和1SPAPB，图（ 2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P） ，P到A、B的距离之和2SPAPB（1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图 （3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值【关键词】勾股定理、对称、设计方案解:图 10（1）中过 B 作 BC AP ,垂足为 C,则 PC 40,又 AP10,AC30 在 RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP 24022BCCPS110240图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50，又 BC 40BA4110504022由轴对称知： PAPA S2 BA41101S2S(2)如 图 10（2） ，在公路上任找一点M,连接 MA,MB,MA ，由轴对称知MAMA MB+MA MB+MA AB S2 BA为最小（3）过 A 作关于 X轴的对称点A, 过 B作关于 Y轴的对称点B，连接 AB,交 X轴于点 P , 交 Y轴于点 Q,则 P,Q 即为所求过 A、 B分别作 X 轴、 Y轴的平行线交于点G, AB5505010022所求四边形的周长为55050B A P X 图（ 1）Y X B A Q P O 图（ 3）B A P X A图（2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档PXBAQYBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -