2014-2017高考真题-第十三章-计数原理(共10页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上第十三章 计数原理考点1 排列与组合1.（2017新课标,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（    ） A.12种 B.18种 C.24种 D.36种1.D 4项工作分成3组，可得： =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6× =36种故选D2.(2016·全国，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.92.B 从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×318种，故选B.3.(2016·全国，12)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数.若m4，则不同的“规范01数列”共有()A.18个 B.16个 C.14个 D.12个3.C 第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为，；只有2个1相邻时，共A种，其中；，不符合题意，三个1都不在一起时有C种，共28414.4.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24 B.48 C.60 D.724.D 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有C·A72.选D.5.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多5.B 取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1个；黑黑，则丙盒中黑球数加1个；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多.和的情况随机，和对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.6.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个 B.120个 C.96个 D.72个6.B由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A72个；若万位是4，则有2×A个48个，故40 000大的偶数共有7248120个.选B.7.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种7.C从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5种，所以不同的选法共有15×575种，故选C.8.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.248.D3人中每两人之间恰有一个空座位，有A×212种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A×A12种坐法，所以共有121224种坐法.9.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种9.B当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有ACA9×24216种.10.(2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.16810.B依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120，选B.11.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对 B.30对 C.48对 D.60对11.C法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C12648对.12.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5 B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5) D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)12.A分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,5个,则有(1aa2a3a4a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，5个，有(1c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5，故选A.13.(2014·广东，8)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A.60 B.90 C.120 D.13013.D易知|x1|x2|x3|x4|x5|1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|x2|x3|x4|x5|1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或1，其余等于0，于是有CC10种情况；其二：|x1|x2|x3|x4|x5|2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于1或一个等于1、另一个等于1，其余等于0，于是有2CCC40种情况；其三：|x1|x2|x3|x4|x5|3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于1或两个等于1、另一个等于1或两个等于1、另一个等于1，其余等于0，于是有2CCCCC80种情况.由于104080130，故答案为D.14.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答） 14.1 080 根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：108015.（2017浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法（用数字作答） 15. 660 第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：66016.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答).16.1 560依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40×391 560条毕业留言.17.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种.17.36将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有481236种.18.(2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).18.60分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A24，则获奖情况总共有362460(种).考点2 二项式定理及其应用1.（2017新课标,6）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（） A.15 B.20 C.30 D.351.C （2xy）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5r（y）r=25r（1）r x5ryr 令5r=2，r=3，解得r=3令5r=3，r=2，解得r=2（x+y）（2xy）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40故选C2.（2017新课标,4）（x+y）（2xy）5的展开式中的x3y3系数为 （    ） A.80 B.40 C.40 D.802.C （1+ ）（1+x）6展开式中：若（1+ ）=（1+x2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+ ）提供x2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得 可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 （1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30故选C3.(2016·四川，2)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix43. A 由题可知，含x4的项为Cx4i215x4.选A.4.(2015·新课标全国，10)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.604.CTk1C(x2x)5kyk，k2.C(x2x)3y2的第r1项为CCx2(3r)xry2，2(3r)r5，解得r1，x5y2的系数为CC30.5.(2015·湖南，6)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a()A. B. C.6 D.65.D的展开式通项Tr1Cx(1)rar·x(1)rarCxr，令r，则r1，T2aCx，aC30，a6，故选D.6.(2015·陕西，4)二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数为15，则n()A.4 B.5 C.6 D.76.C由题意易得：C15，CC15，即15，解得n6.7.(2014·湖北，2)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a()A.2 B. C.1 D.7.CTr1C·(2x)7r·27rCar·.令2r73，则r5.由22·Ca584得a1，故选C.8.(2014·浙江，5)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A.45 B.60 C.120 D.2108.C在(1x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)C·C.从而f(3，0)C20，f(2，1)C·C60,f(1，2)C·C36,f(0，3)C4，故选C.9.(2014·四川，2)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A.30 B.20 C.15 D.109.C只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C15，故选C.10.(2014·湖南，4)5的展开式中x2y3的系数是()A.20 B.5 C.5 D.2010.A展开式的通项为Tk1C(x)5k·(2y)k(1)k·22k5Cx5k·yk，令5k2，得k3.则展开式中x2y3的系数为(1)3·22×35C20，故选A.11.（2017浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=_，a5=_ 11.16；4 多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， （x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4故答案为：16；412.（2017山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=_ 12.4 （1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr 含有x2的系数是54，r=2 =54，可得 =6， =6，nN* 解得n=4故答案为：413.(2016·全国，14)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案).13.10 (2x)5展开式的通项公式Tk1C(2x)5k()kC25kx5，k0,1,2,3,4,5，令53解得k4，得T5C254x510x3，x3的系数是10.14.(2016·北京，10)在(12x)6的展开式中，x2的系数为_.14. 60 展开式的通项Tr1C·16r·(2x)rC(2x)r.令r2得T3C·4x260x2，即x2的系数为60.15.(2015·北京，9)在(2x)5的展开式中，x3的系数为_(用数字作答).15.40展开式通项为：Tr1C25rxr，当r3时，系数为C·25340.16.(2015·天津，12)在6的展开式中，x2的系数为_.16.的展开式的通项Tr1Cx6rCx62r；当62r2时，r2，所以x2的系数为C.17.(2014·新课标全国，13)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案).17.20由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7y·Cx2y6，故(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为CCCC82820.18.(2014·新课标全国，13)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_(用数字作答).18.Tr1Cx10rar,令10r7,得r3,Ca315，即a315,a3，a.19.(2014·安徽，13)设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.19.3根据题意知a01，a13，a24，结合二项式定理得即解得a3.20.(2014·山东，14)若6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_.20.2Tr1C(ax2)6rCa6rbrx123r，令123r3，则r3.Ca3b320，即ab1.a2b22ab2，即a2b2的最小值为2.21.(2014·大纲全国，13)8的展开式中x2y2的系数为_(用数字作答).21.70Tr1C··(1)r·C·x·y，令得r4.所以展开式中x2y2的系数为(1)4·C70.专心-专注-专业