2022年最新数学分析第二学期期末考试题及答案.pdf

精品文档精品文档数学分析第二学期考试题一、 单项选择题 （从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题4 分，共 32 分）1、 函数)(xf在a,b 上可积的必要条件是（ b ）A、连续 B、有界 C 、无间断点 D、有原函数2、函数)(xf是奇函数，且在-a,a 上可积，则（ b ）A、aaadxxfdxxf0)(2)( B、0)(aadxxfC、aaadxxfdxxf0)(2)( D、)(2)(afdxxfaa3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ a ）A、101dxx B 、11dxx C、0sin xdx D 、1131dxx4、级数1nna收敛是1nna部分和有界且0limnna的（ c ）A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件5、下列各积分中可以直接运用牛顿- 莱布尼兹公式求值的是（ a ） A、10arcsin xdx B、11lneedxxx C、12111dxx D、10sin xdxx6、下面结论错误的是（ b ）A、若)(xf在,ba上可积，则)(xf在,ba上必有界；B、若)(xf在),(ba内连续，则)(dxxfba存在；C、 若)(xf在,ba上可积，则)(xf在,ba上必可积；D、 若)(xf在,ba上单调有界，则)(xf在,ba上必可积。7、下列命题正确的是（ d ）A、)(1xann在a，b 绝对收敛必一致收敛B、)(1xann在a，b 一致收敛必绝对收敛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档C、 若0|)(|limxann，则)(1xann在a，b 必绝对收敛D、)(1xann在a，b 条件收敛必收敛8、012121)1(nnnxn的和函数为（ c ）A、xe B、xsin C、)1ln(x D、xcos二、 计算题 ： （每小题 7 分，共 28 分）9、914)(dxxf，求202)12(dxxxf。10、计算02221dxxx。11、计算11nnxn的和函数，并求1)1(nnn。12、计算xxdx22cossin三、讨论题与应用： （每小题 10 分，共 20 分）13、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性14、抛物线xy22把圆822yx分成两部分，求这两部分面积之比。四、 证明题 ： （每小题 10 分，共 20 分）15、设 f(x)是以 T 为周期的函数，且在0 ，T 上可积，证明TTaadxxfdxxf0)()(16、设)(xf在a，b 连续，证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf，并求02cos1sindxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档参考答案一、 1、B 2、B3、A4、C5 、C6、D7、D8、C9、C10、C 二 、 1 、2022202) 12()12(21) 12(xdxfdxxxf（ 3 分 ） 令122xu，912022)(21) 12(duufdxxxf（3 分）2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx（6 分）3、解：令)(xf=11nnxn，由于级数的收敛域)1 , 1（2 分） ，)(xf=xxnn1111，)(xf=)1ln(110 xdttx（2 分） ，令1x，得2ln)1(1nnn4、 解：两边对x求导02232xxxzzzz（3 分）xzzzx2322（ 2 分）2)1, 1 , 1(xz（1 分）5、解：xyxyx|0222（5 分）0lim22200yxyxyx（1 分）由于x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2） （ 3 分）三、 1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx（2 分）000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxxyxfy(4 分）1)0,0(),0(lim)0,0(02yfyfxyzxxy1)0,0()0 ,(lim)0,0(02xfxfyxzyyx（6 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2、解：由于xnxnnnnn221sin2|sin2) 1( |lim（3 分） ，即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛，1sin22x级数发散（ 7 分）所以原级数发散（2分）四、 证明题 （每小题 10 分，共 20 分）1、证明：因为)(1xf在 a，b 上可积，故在a， b 上有界，即0M，使得),()(1baxMxf， （3 分）从而)(|)(|)(12axMdttfxfxa一般来说，若对n有)!1()()(1naxMxfnn（5 分）则)()!1()()(1nnabMxfnn，所以)(xfn在a，b 上一致收敛于0（2 分）aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()(（2） （4 分）将式（ 2）代入（ 1）得证（ 2 分）2、3、yexzyx1，2yxeyzyx， （7 分）则012yxyeyxeyzyxzxyxyx（3 分）4、5、 证明：令tx0000)(sin)(sin)(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf得证（ 7分）8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx（ 3 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -