平面向量复习基本知识点及经典结论总结(共17页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上平面向量学习方法：理论意义、实际意义；基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习； 基本考点：、向量的运算及其几何意义；、向量的线性运算； 、共线问题；、基本定理应用及其向量分解；、坐标表示及其运算； 、平行问题的坐标表示；、数量积的运算；、夹角问题； 、模长及垂直条件；、在平面几何中应用；、在解析几何中的应用；、在解三角形中的应用；、在物理中的应用；一、向量有关概念： 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移；零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；作用:、解决矛盾；、零向量和任何非零向量平行；、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；单位化相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关；相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是；平行向量（共线向量）：、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；、记作：零向量和任何非零向量平行；、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；、平行向量无传递性！（因为有)；、三点共线共线；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；、向量的运算及其几何意义： 例、下列命题：若，则；两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；若，则是平行四边形；若是平行四边形，则；若，则；若，则；其中正确的是_例、下列命题正确是： 若，则；若非零向量与方向相同或相反，则与之一的方向相同；若，则；若，则或；若，则；若，则；与方向相同；向量与向量共线的充要条件是有且仅有只有一个实数，使得；若，则；、向量的线性运算：“三角形法则”和“平行四边形法则”例、已知中，点在边上，且，则的值是_例、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_ 例、边长为的正三角形中，设，则？、共线问题：例、已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？例、 如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，ABCMNG图1，则。例、例、例、解:用零向量解决矛盾 例、 解:例、解：设，则，由题意，得，例、解：，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得；当共线，则可为任意实数；当不共线，则有；综上，任意，共线，不。 例、点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得， 有=，得，于是得。二、向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。、坐标表示及其运算；例、若，则_例、如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_、基本定理应用及其向量分解：例、给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.如图，点在以为圆心的圆弧上变动.若，其中，则的最大值是？例、已知是的外心，.若，则？例、解：例、向量中三终点共线存在实数使得且.直线例、解：方法一、设，则，即所以.方法二、将向量式两边平方，得，因为，故.方法三、以直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，则代入可得，即，所以由柯西不等式，得.方法四、设，作平行四边形，则.设在中使用正弦定理得方法五、，设与的交点为，则由，得，且两边取模并平方整理得故.方法六、设，当时，.例、已知是的外心，.若，则？解：方法一、点乘法：两边同时乘以得，即，所以.方法二、坐标法：以点为原点，以及其垂直平分线所在的直线分别为轴、轴建立直角坐标系.由余弦定理得，再由正弦定理得，所以，即，而，于是，所以.三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。、提供证明共线或平行的方法。、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。、平行问题的坐标表示；例、已知和点满足，若存在实数使得成立，则例、已知点，若，则当_时，点在第一、三象限的角平分线上。例、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则？ 例解：由知，点为的重心，设为边的中点，则向量加法可知。由重心的性质可知：，而且与同向，故。例、答：；例、（答：2）；共线定理应用：、定比分点的概念：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点分有向线段 所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；、的符号与分点的位置之间的关系：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；当点在线段的延长线上时；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为。、线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则， 、当时，就得到线段的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；例、若，且，则点的坐标为_例、已知，直线与线段交于，且，则等于_例、如图，在中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值？例、解:法一: 解法二:例、例、设，则，和分别共线，存在，使，故，而，由平面向量基本定理得，即.、平行四边形法则： 分析：例、已知是两个非零向量，且，则的夹角？例、已知，则等于_例、若向量与向量的夹角为，则向量模？ 例、若正方形的边长为1，则_例、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_ 例、若是所在平面内一点，且满足，则的形状？例、；例、；例、；例、；例、；例、直角三角形；如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。应用：、解释平面直角坐标系中的任意点坐标的来由。、 共平不共分析：例、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 （）、 、 、 、例、平面上三个不同点不共线，问：是否存在实数满足，且。例、平面上三点不共线，设,则的面积等于_KS*5U.C#（A） （B） （C） （D）例、解：不共线，非零向量。用共线定理否定的方法（答：）；例、反证法：假设存在，表示不全为零，可设，由，若不然，时，重合，与已知“三点”矛盾，可见，这表明存在，使。可知共线，这与“”不共线“矛盾”，表明不存在满足全部条件的实数。注：，当时，共线定理。例、解析：选C. 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注：0。分析：平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：、；、当，同向时， ，特别地，；当与反向时， ；当为锐角时，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；、非零向量，夹角的计算公式：；、；当同向或有；当反向或有；当不共线； 、数量积的运算；例、已知，且，则向量在向量上的投影为_ 例、中，则_例、已知，与的夹角为，则等于_例、已知非零向量满足与互相垂直，与互相垂直，则与的夹角？例、已知圆的半径为，、为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为PABO例、为非零向量，“”是“函数为一次函数”的_条件。、夹角问题；例、已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围？例、已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围？例、若两向量满足所成的角为，若向量与向量所成的角为钝角，求实数的取值范围？ 例10、已知与之间有关系式，用表示；求的最大值，并求此时与的夹角的大小？最小值？ 当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释；例11、已知，设，求函数的最小正周期；当时，求函数的最大值及最小值；例、； 例、； 例、；例、解：由已知条件得。例、解析1、如图所示：设,则，令，则，即，由是实数，所以，解得或.故，此时.解析2、设，换元：，；解析3、建系：圆的方程为，设，例、必要不充分；解：；为一次函数且；且；“积木式问题”的解题策略:、先分别对每个条件进行推理，直至得出认为有作用的结果；再认真分析这些结果，探索它们之间的联系；若仍然不能找到解决问题的途径则可以调整以上推理结果；、如果某个“积木”恰好是知识的盲点，不要放弃，要对每个条件进行独立推理，可以得到可观的部分分数；例、或且；例、；例、例10、；最小值为，当时，的值最小，此时，即说明例11、 2分分的最小正周期分分当，即时，有最大值； 10分当，即时，有最小值；12分“细节决定一切”：所得分数与自己估计的相差很大时，说明细节出了问题。向量的运算：、几何运算：、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；、向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。、坐标运算：设，则：、向量的加减法运算：，。、实数与向量的积：。、若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。、平面向量数量积：。、向量的模：。 、两点间的距离：若，则。例、若点是的外心，且，则的内角为_例、已知，则 例、；例、或；向量的运算律：、交换律：，；、结合律：，；、分配律：，。例、下列命题中正确的是_ ； ； 若，则或； 若则； ； ； 。例、（答：）向量平行(共线)的充要条件：0。例、若向量，当_时与共线且方向相同；例、已知，且，则_；例、设，则_时，共线；例、2；例、4；例、2或11；向量垂直的充要条件： . 特别地。、模长及垂直条件例、已知，若，则 例、以原点和为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点的坐标？例、已知向量，且，则的坐标是_ 例、；例、 (1,3)或（3，1）；例、平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线。例、按向量把平移到，则按向量把点平移到点_例2、已知，则把向量按向量平移后得到的向量是？例3、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_例、（，）；例2、解: 例3、四、平面向量的应用：向量在几何中的应用：向量的几何表示是有向线段，其加法和减法的几何意义、模长、平行、垂直等内容的结合。、在几何中的应用“三角形“四心”向量”在中：若，则其重心的坐标为。为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；1、重心(中线交点)G是ABC的重心； 证明 作图如右，图中，连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=，得=，故G是ABC的重心。(反之亦然)为ABC的重心(P是平面上的点).证明 G是ABC的重心=，即，由此可得。 例、向量、满足，求证 是正三角形。例、若 为内一点， ，则 是 的（ ）A、内心       B、外心   C、垂心     D、重心例、是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，则点一定为的（）、边中线的中点 、边中线的三等分点（非重心）、重心 、边的中点例、证明 由已知+=-，两边平方得·=，同理·=·=，|=|=|=，从而P1P2P3是正三角形。反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例、解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。例、解：；取边的中点，则，由，可得，即点为三角形中边上的中线的一个三等分点，且点不过重心，故选；ABCDH2、垂心(高线交点)ABCDOH是ABC的垂心由,同理，.故H是ABC的垂心.(反之亦然(证略)若是(非直角三角形)的垂心，则,故.例、是所在平面上一点，若，则是的（）、外心、内心、重心、垂心例、解析:由.即则，所以P为的垂心. 故选D.、外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)是的外心(或)(点到三边距离相等)（为三边垂直平分线)若是的外心，则故. 例、若为内一点，则是 的（     ）、内心     、外心     、垂心     、重心例、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选B。4、内心(角平分线交点，内切圆圆心)是的内心充要条件是ABCDO如果记，的单位向量为，是内心的充要条件可以写成 ·(+)=·(+)=(+)=是内心的充要条件也可以是.若是的内心，则,故或,为ABC的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；*设是所在平面内任意一点，为内心的充要条件是例1、是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则点轨迹一定经过的（）外心内心重心垂心例、已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，动点满足，则的轨迹一定通过的（）外心内心重心垂心例、已知非零向量与满足，且，则为（）例1、分别表示上的单位向量，因此；表示菱形对角线；（设，角平分线）；表示，即起点，终点在射线上的向量。表示以为邻边的平行四边形的对角线上动点为终点：因为点总在的平分线上，所以点过的内心。选；例、因为与都点乘以后分母可以约去，且有，即动点满足，其中是边的中点，移向并整理，得，是的中垂线，选；例、角的平分线垂直于；角；等边，选；向量在解析中的应用：条件以向量形式给出；定比分点公式以向量的形式给出；解决垂直问题时不用考虑斜率；、在解析中的应用例、为直角坐标系的原点，平面内，点对应的向量，其中，求点轨迹方程？例、直线与双曲线的渐近线交于两点。记任取双曲线上的点,若满足,则满足的等式?例、在中，已知，边上的中线，求的值？例、设，根据，依据“约束条件”“”得：，。例例、方法一、建系以为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点位于第一象限，由，则，设，则.由条件得出，从而或（舍去）.故，于是，所以.方法二、几何设为的中点，连结，则，且，设，在中，余弦定理知：，解得或（舍），故.从而，即.又因为，故.方法三、过点作交于点，延长到使，连结，过点作交的延长线于点，则，而，所以，由，所以.向量在解斜三角形的应用：、在解斜三角形的应用例1、已知向量，向量与向量的夹角为，且，求向量；若向量与向量的夹角为，向量，其中 为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围？例、已知在锐角中，两向量，且与是共线向量.求的大小；求函数取得最大值时，的大小；例1、设，由，有夹角为，则，解得：由与垂直知，由因为，则，例、，当时，.向量在物理中的应用：物理中的速度、位移、力等都是向量，与物理知识结合。、在物理中的应用专心-专注-专业