2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-3-第3讲-圆的方程(共15页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第3讲圆的方程1圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般方程x2y2DxEyF0条件：D2E24F>0圆心：半径r2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF>0.()(4)方程x22axy20一定表示圆()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F>0.()答案：(1)(2)(3)(4)×(5)教材衍化1(必修2P132A组T3改编)以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21答案：A2(必修2P124A组T1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标为_，半径为_解析：x2y24x6y0，得(x2)2(y3)213.所以圆心坐标为(2，3)，半径为.答案：(2，3)3(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|，所以圆C的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y210易错纠偏(1)忽视表示圆的充要条件D2E24F>0；(2)错用点与圆的位置关系；(3)不能正确确定圆心坐标1若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是_解析：将x2y2mx2y30化为圆的标准方程得(y1)22.由其表示圆可得2>0，解得m<2或m>2.答案：(，2)(2，)2若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1a)2(a1)2<4，即1<a<1.答案：(1，1)3若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a>0)，又圆与直线4x3y0相切，所以1，解得a2或a(舍去)所以圆的标准方程为(x2)2(y1)21.答案：(x2)2(y1)21求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小主要命题角度有：(1)由已知条件求圆的方程；(2)由圆的方程确定参数的值(范围)角度一由已知条件求圆的方程 (1)圆心在曲线y(x>0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225(2)(2020·浙江百校联盟联考)经过点A(5，2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程为_【解析】(1)由圆心在曲线y(x>0)上，设圆心坐标为，a>0.又因为圆与直线2xy10相切，所以圆心到直线的距离d，当且仅当2a，即a1时取等号所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(2)因为圆过A(5，2)，B(3，2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上易知线段AB的垂直平分线方程为y(x4)设所求圆的圆心为C(a，b)，则有解得所以C(2，1)，所以半径r|CA|，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)210.【答案】(1)A(2)(x2)2(y1)210角度二由圆的方程确定参数的值(范围) (1)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上B原点在圆外C原点在圆内 D不确定(2)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_【解析】(1)将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0<a<1，所以(0a)2(01)22a(a1)2>0，即>，所以原点在圆外(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得(y1)2<0，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5.【答案】(1)B(2)(2，4)5求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 1(2020·宁波十校联考)若a，则方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圆的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1)>0，即3a24a4<0，解得2<a<.又a，所以仅当a0时，方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆2圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_解析：设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a2b>0，且a2()2b2，解得a2，b1.所以所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)243已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y29与圆有关的最值问题(高频考点)与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等主题命题角度有：(1)借助几何性质求最值；(2)建立函数关系求最值角度一借助几何性质求最值 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值【解】原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时，解得k±(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2±(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2. (变问法)在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.角度二建立函数关系求最值 (2020·义乌模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则·的最大值为_【解析】由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以·x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以·(y3)21y246y12.易知2y4，所以，当y4时，·的值最大，最大值为6×41212.【答案】12求解与圆有关的最值问题的方法 1由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为_解析：切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.答案：2(2020·杭州学军中学高三调研)已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，则的最大值为_，最小值为_解析：因为x2y24x14y450的圆心C(2，7)，半径r2，记点Q(2，3)因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有公共点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.答案：223设圆x2y22的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为_解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线AB的方程为1，即bxayab0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d，即2(a2b2)(ab)24ab，所以ab4，当且仅当ab时取等号又|AB|2，所以|AB|的最小值为2，此时ab，即ab2，切线l的方程为1，即xy20.答案：xy20与圆有关的轨迹问题 已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程【解】(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以kC1M·kAB1，当x3时可得·1，整理得y2，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)×50，得k2，此时方程为x26x50，解上式得x，因此<x3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为y2.求与圆有关的轨迹方程的方法 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.基础题组练1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析：选A.设圆心为(0，a)，则1，解得a2，故圆的方程为x2(y2)21.故选A.2方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆3(2020·金华十校联考)已知圆(x2)2(y1)216的一条直径通过直线x2y30被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A3xy50 Bx2y0Cx2y40 D2xy30解析：选D.直线x2y30的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，1)，该直径所在直线的斜率为2，所以该直径所在的直线方程为y12(x2)，即2xy30.故选D.4已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：选A.直线xy10与x轴的交点为即(1，0)根据题意，圆心为(1，0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆的方程为(x1)2y22.故选A.5圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2C1 D22解析：选A.将圆的方程化为(x1)2(y1)21，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11，选A.6(2020·杭州八校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a>0，b>0)对称，则的最小值是()A2 B.C4 D.解析：选D.由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，因为圆x2y22x6y10关于直线axby30(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(1，3)，即a3b30，所以a3b3(a>0，b>0)所以(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.7圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为_解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|CB|得(a1)212(a1)232，所以a2.半径r|CA|.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()2<10，解得0<m<4.答案：(0，4)8已知点P(2，3)，圆C：(x4)2(y2)29，过点P作圆C的两条切线，切点为A，B，则过P、A、B三点的圆的方程为_解析：易知圆C的圆心为C(4，2)，连接AC、BC，由题意知PAAC，PBBC，所以P，A，B，C四点共圆，连接PC，则所求圆的圆心O为PC的中点，所以O，所以所求圆的半径r.所以过P，A，B三点的圆的方程为(x1)2.答案：(x1)29已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为_解析：圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知·0，故x(2x)(y4)(2y)0.即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.答案：(x1)2(y3)2210已知圆O：x2y28，点A(2，0)，动点M在圆上，则OMA的最大值为_解析：设|MA|a，因为|OM|2，|OA|2，由余弦定理知cosOMA··2，当且仅当a2时等号成立所以OMA，即OMA的最大值为.答案：11求适合下列条件的圆的方程(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(9，2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.所以圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所以所求圆的方程为x2y22x4y950.12已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上，得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.综合题组练1(2020·台州市书生中学高三模拟)在ABC中，BC6，AB2AC，则ABC面积的最大值为()A10 B11C12 D14解析：选C.以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系(图略)，则C(6，0)设A(x，y)由AB2AC得x2y24(6x)2y2，即(x8)2y216.则A的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆(除去(12，0)和(4，0)，所以A到BC的距离的最大值为4.所以ABC面积的最大值为SBC×412.故选C.2已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是()A(2，4) B2，4C4，4 D4，2解析：选B.由于y0，所以x2y24(y0)为上半圆.xym0是直线(如图)，且斜率为，在y轴上截距为m，又当直线过点(2，0)时，m2，设圆心O到直线xym0的距离为d，所以即解得m2，43设命题p：(x，y，kR且k0)；命题q：(x3)2y225(x，yR)若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是_解析：如图所示：命题p表示的范围是图中ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件，实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可由题知B，则解得0k6.答案：(0，64(2020·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C：x2y22x4y10上存在两点关于直线l：xmy10对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则m_； |MP|_解析：因为圆C：x2y22x4y10上存在两点关于直线l：xmy10对称，所以直线l：xmy10过圆心C(1，2)，所以12m10.解得m1.圆C：x2y22x4y10，可化为(x1)2(y2)24，圆心(1，2)，半径r2，因为经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，所以|MP|3.答案：135已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M，N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程解：(1)由D2E24F>0得(2)2(4)24m>0，解得m<5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2y40得x42y；将x42y代入x2y22x4ym0得5y216y8m0，所以y1y2，y1y2.因为OMON，所以·1，即x1x2y1y20.因为x1x2(42y1)(42y2)168(y1y2)4y1y2，所以x1x2y1y2168(y1y2)5y1y20，即(8m)8×160，解得m.(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a(x1x2)，b(y1y2)，半径r|OC|，所以所求圆的方程为.6已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2t2.设圆C的方程是 (xt)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOA·OB×|2t|×|4，即OAB的面积为定值(2)因为OMON，CMCN，因为OC垂直平分线段MN.因为kMN2，所以kOC.所以t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时，C到直线y2x4的距离d<，圆C与直线y2x4相交于两点符合题意，此时，圆的方程为(x2)2(y1)25.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d>.圆C与直线y2x4不相交，所以t2不符合题意，舍去综上圆C的方程为(x2)2(y1)25.专心-专注-专业