2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-1-第1讲-直线的倾斜角与斜率、直线的方程(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上知识点最新考纲直线的方程理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系.两直线的位置关系 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离圆的方程掌握圆的标准方程与一般方程直线、圆的位置关系会解决直线与圆的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系椭 圆 掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质 会解决直线与椭圆的位置关系的问题双曲线了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系抛物线 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质 会解决直线与抛物线的位置关系的问题曲线与方程了解方程与曲线的对应关系会求简单的曲线的方程.第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°(2)倾斜角的范围为0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan ，倾斜角是90°的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)yy1k(xx1)不含直线xx1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b1(a0，b0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)教材衍化1(必修2P86练习T3改编)若过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为_解析：由题意得1，解得m1.答案：12(必修2P100A组T8改编)直线3x4yk0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k_解析：令x0，得y； 令y0，得x，则有2，所以k24.答案：24易错纠偏(1)由直线方程求斜率的思路不清；(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响；(3)忽视直线斜率不存在的情况；(4)忽视截距为0的情况1直线l：xsin 30°ycos 150°a0的斜率为_解析：设直线l的斜率为k，则k.答案：2如果A·C<0且B·C<0，那么直线AxByC0不通过第_象限解析：由已知得直线AxByC0在x轴上的截距>0，在y轴上的截距>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限答案：三3过直线l：yx上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为_解析：若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有××22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.答案：x2y20或x24过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_解析：当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5，所以直线方程为xy50.答案：3x2y0或xy50直线的倾斜角与斜率 (1)直线2xcos y30的倾斜角的变化范围是()A.B.C. D.(2)已知直线l：xmym0上存在点M满足与两点A(1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A，B.C.D以上都不对【解析】(1)直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是.(2)设M(x，y)，由kMA·kMB3，得·3，即y23x23.联立得x2x60.要使直线l：xmym0上存在点M满足与两点A(1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则240，即m2.所以实数m的取值范围是.故选C.【答案】(1)B(2)C (变条件)若本例(1)中直线变为xycos 30(R)，则直线的倾斜角的取值范围为_解析：当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线的方程，可得斜率k.因为cos 1，1且cos 0，所以k(，11，)，即tan (，11，)，又0，)，所以，综上知，直线的倾斜角的取值范围是.答案：(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤求出斜率ktan 的取值范围利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围提醒求倾斜角时要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率 1若直线l的斜率为k，倾斜角为，且，则k的取值范围是_解析：当时，ktan ；当时，ktan ，0)综上k，0).答案：，0)2若经过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是_解析：由条件知直线的斜率存在，由斜率公式得k.因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<2.答案：(，2)(1，)求直线的方程 (1)过点(4，0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为_(2)过点M(3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_(3)若直线过点(5，10)，且到原点的距离为5，则该直线的方程为_【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4)即直线方程为x3y40或x3y40.(2)当直线过原点时，直线方程为yx；当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya.代入点(3，5)，得a8.即直线方程为xy80.综上直线方程为yx或xy80.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上所求直线方程为x50或3x4y250.【答案】(1)x3y40或x3y40(2)yx或xy80(3)x50或3x4y250(1)求直线方程的两种常用方法直接法：根据已知条件，确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程(2)求直线方程应注意的问题选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点求直线方程时，如果没有特别要求，求出的方程应化为一般式AxByC0(A，B不同时为0) 1已知A(1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则ABC的BC边上的高所在的直线方程为()Axy0Bxy20Cxy20Dxy0解析：选B.因为B(3，1)，C(1，3)，所以kBC1，故BC边上的高所在直线的斜率k1，又高线经过点A，所以其直线方程为xy20.2过点M(1，2)作一条直线l，使得l夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l的方程为_解析：由题意，可设所求直线l的方程为y2k(x1)(k0)，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，则A，B(0，k2)因为AB的中点为M，所以解得k2.所以所求直线l的方程为2xy40.答案：2xy40直线方程的综合应用(高频考点)直线方程的综合应用是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度为中、低档题目主要命题角度有：(1)与基本不等式相结合求最值问题；(2)由直线方程解决参数问题角度一与基本不等式相结合求最值问题 (2020·杭州七校联考)直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求l的方程【解】依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k<0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.所以当且仅当k且k<0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60. (变问法)在本例条件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程解：|PA|·|PB| ·(1k2)48(k<0)所以当且仅当k且k<0，即k1时，|PA|·|PB|取最小值这时l的方程为xy50. 角度二由直线方程解决参数问题 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值【解】由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a4，当a时，面积最小直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 1直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2，2B(，22，)C2，0)(0，2D(，)解析：选C.令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形的面积为|b|b2，且b0，b21，所以b24，所以b的取值范围是2，0)(0，22已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_解析：直线方程可化为y1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0b1，且a2b2，从而a22b，故ab(22b)b2b22b2，由于0b1，故当b时，ab取得最大值.答案：核心素养系列18直观想象巧构造，妙用斜率求解问题一、比较大小 已知函数f(x)log2(x1)，且a>b>c>0，则，的大小关系为_【解析】作出函数f(x)log2(x1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<.【答案】<<对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a)，(b，f(b)，比较与的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小 二、求最值 已知实数x，y满足yx22x2(1x1)，试求的最大值和最小值【解】如图，作出yx22x2(1x1)的图象(曲线段AB)，则表示定点P(2，3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPAkkPB.易得A(1，1)，B(1，5)，所以kPA，kPB8，所以k8，故的最大值是8，最小值是.对于求形如k，y的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解 三、证明不等式 已知a，b，m(0，)，且a<b，求证：>.【证明】如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(m，m)因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线yx的下方又m>0，所以点M在第三象限，且在直线yx上连接OP，PM，则kOP，kMP.因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以kMP>kOP，即>.根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果 基础题组练1(2020·丽水模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10B.xy0C.xy0 D.xy0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k.又直线过点(1，0)，所以方程为y(x1)，即xy0.2已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2解析：选A.因为直线x2y40的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为yx2.3直线xsin 2ycos 20的倾斜角的大小是()A B2C. D2解析：选D.因为直线xsin 2ycos 20的斜率ktan 2，所以直线的倾斜角为2.4已知函数f(x)ax(a0且a1)，当x0时，f(x)1，方程yax表示的直线是()解析：选C.因为x0时，ax1，所以0a1.则直线yax的斜率0a1，在y轴上的截距1.故选C.5(2020·温州质检)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.6过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0解析：选B.当直线过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为，故直线的方程为yx，即2x5y0.当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k(k0)，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为1，把点(5，2)代入可得1，解得k6.故直线的方程为1，即2xy120.7过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的的直线方程为_解析：设所求直线的斜率为k，依题意k×3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.答案：3x4y1508若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为_解析：因为kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：49设点A(1，0)，B(1，0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_解析：b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值所以b的取值范围是2，2答案：2，210一条直线经过点A(2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_解析：设所求直线的方程为1，因为A(2，2)在直线上，所以1.又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1，所以|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程组(2)无解故所求的直线方程为1或1，即x2y20或2xy20为所求直线的方程答案：x2y20或2xy2011设直线l的方程为xmy2m60，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为3.解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m0，于是直线l的方程可化为yx.由题意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由题意得2m63，解得m.法二：直线l的方程可化为xmy2m6.由题意得2m63，解得m.12已知直线l：kxy12k0(kR)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程解：由l的方程，得A，B(0，12k)依题意得解得k0.因为S·|OA|·|OB|··|12k|·×(2×24)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，所以Smin4，此时直线l的方程为x2y40.综合题组练1(2020·富阳市场口中学高三质检)已知点A(2，3)、B(3，2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()Ak或k4 Bk或kC4k D.k4解析：选A.如图所示，由题意得，所求直线l的斜率k满足kkPB或kkPA，即k或k4，故选A.2已知动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则的最小值为()A. B.C1 D9解析：选B.因为动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以3，解得m0，所以ac2，则(ac)·，当且仅当c2a时取等号，故选B.3(2020·金丽衢十二校高考模拟)直线l：xy230(R)恒过定点_，P(1，1)到该直线的距离的最大值为_解析：直线l：xy230(R)即(y3)x20，令，解得x2，y3.所以直线l恒过定点Q(2，3)，P(1，1)到该直线的距离最大值为|PQ|.答案：(2，3)4直线l的倾斜角是直线4x3y10的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为_解析：设直线l的倾斜角为.所以tan 2.，所以tan 2或tan ，由20°，180°)知，0°，90°)所以tan 2.又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.所以tan .即.答案：5.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.6为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，所以直线EF的方程为1(0x30)易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|·|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，所以n20m.所以S(100m)(m5)2(0m30)所以当m5时，S有最大值，这时51.所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成51时，草坪面积最大专心-专注-专业