2007级数学分析第2学期期终考试试卷解答(共6页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2007级第二学期数学分析期终试题 2008-6-27参考答案与评分标准一、单项选择题（每小题3分，共12分）1 设函数，则在点 【 A 】(A) 连续，且可偏导. (B) 沿任何方向的方向导数都存在. (C) 可微，且 (D) 和在点连续.2 通过曲面上点的切平面 【 B 】(A) 通过轴. (B) 平行于轴. (C) 垂直于轴. (D) 以上结论都不正确.3 设连续函数满足，记，则极限的值 【 C 】(A) 等于0. (B) 等于1. (C) 等于. (D) 无法确定.4 设曲线积分，其中是平面上任意一条不经过原点的简单可求长闭曲线，则 【 A 】(A). (B). (C) 若环绕原点，则，若没有环绕原点，则.(D) 以上结论均不正确.B卷：【 C 】【 C 】【 A 】【 B 】二、填空题（每小题4分，共16分）5 设函数，则.6 设函数在上具有连续导数，又，则.7 设函数连续，交换二次积分次序：.8 设曲线为椭圆周，其周长记为，则.三、（第9小题8分，第10小题10分,共18分）9 设函数，其中是由方程所确定并满足的隐函数，求.解 ， 3分， 6分. 8分10 求函数在条件和下的极值.解 作Lagrange函数. 3 分令 . 6 分代入约束条件得驻点和. 8 分由于在闭集上连续，因此必有最大、最小值. 又因为，所以为极小值，也是最小值，为极大值，也是最大值. 10分四、计算下列积分（第11、12每小题9分, 第13小题10分，共28分）11 计算，其中为上从点到点的一段.解一 4分. 9分解二 添加，记其与曲线所围成的区域为. 3分. 7分故 . 9分12 计算，其中为直线，和所围成的有界闭区域.解 作变换, 则 2分, . 6分故 . 9分13 计算 （），其中为下半球面，方向取上侧.解 . 2分补充, 取下侧. 记与所围成的区域为. 则 4分. 8分于是 故 . 10分五、（每小题9分, 共18分）14 设，证明.解 令. 任取, 及有,故一致有界. 3分其次, 对, 函数关于单调减少且有, 故当时, 关于一致趋于0. 据Dirichlet判别法知关于一致收敛. 7分最后, 由于, 故, 从而. 9分15 设，又已知. 验证条件并计算积分.解 不妨设. 令, 则. 2分对任意的有, 且,由-判别法知关于一致收敛, 从而 5分 7分. 9分六、证明题（本题共8分）16 已知二元函数的Lagrange中值定理是：设函数在的邻域有一阶连续偏导函数和，则对任意，存在，使得.现在设是给定的正常数，平面区域上的函数具有一阶连续偏导函数，且在的边界上取值为零.(1) 证明：对任意的，存在，使得,其中,而为坐标原点.(2) 证明: .证 (1) 记射线与的交点为, 则存在使得 2分由于与同向，且模长为, 因此得到. 4分(2) 由(1)有 6分. 8分管理学院二、填空题8. 设常数， ，则=.四、11. 求微分方程的通解.解 令，则原方程化为 2分. 4分. 7分故. 9分五、13. 计算，其中是由曲面和所围成的有界闭区域.解一 4分 6分. 10分解二 4分 6分. 10分专心-专注-专业