线性代数期末复习题详解.doc

精选优质文档-倾情为你奉上线性代数B复习资料（2014） (一)单项选择题1设A，B为n阶方阵，且，则下列各式中可能不成立的是（ A ）(A) (B) (C) (D)2若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（ C ）(A)AO (B)A=O (C) (D) 3A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（ D ）(A) B为单位矩阵 (B) B为零方阵 (C) (D) 不一定4设A为n×n阶矩阵，如果r(A)<n , 则 C(A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A的各行向量中至少有一个为零向量(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例571已知向量组线性无关则向量组 ( C )(A) 线性无关(B) 线性无关(C) 线性无关(D) 线性无关6下列说法不正确的是( A )(A) 如果r个向量线性无关，则加入k个向量后，仍然线性无关(B) 如果r个向量线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关(C)如果r个向量线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关(D)如果r个向量线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关7设n阶方阵A的秩r<n，则在A的n个行向量中 A(A) 必有r个行向量线性无关(B) 任意r个行向量均可构成极大无关组(C) 任意r个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r个行向量线性表示8设方阵A的行列式，则A中 C(A) 必有一行（列）元素为零(B) 必有两行（列）成比例(C) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合9设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A )(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关11n元线性方程组AX=b，r（A，b）<n，那么方程AX=b D(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D)不确定10设A，B均为n阶非零矩阵，且AB0，则A和B的秩（ D）(A) 必有一个等于零 (B)一个等于n，一个小于n (C) 都等于n (D) 都小于n12设向量组(s>1，) 线性相关，则（ C ）由线性表出。(A)每个都能 (B) 每个都不能 (C) 有一个能 (D) 某一个不能13.设的第一列的倍加到第2列得到B则： 14. 若向量组线性无关;线性相关,则( C )(A)必可由线性表示. (B)必不可由线性表示(C)必可由线性表示. (D)必不可由线性表示.15下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关16设向量组的秩为r，则 D(A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r个向量部分组无关(C) 向量组中任意r个向量线性无关(D) 向量组任意r+1个向量线性相关 17A是m×n矩阵, r(A)=r 则A中必( B )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零18能表成向量,的线性组合的向量是（ B ）(A) (B) (C) (D)19已知, , 则x=（ D ）时线性相关。(A) 1 (B)2 (C) 4 (D) 520向量组,的秩为 C（A）1 （B）2 （C）3 （D）421设A为n阶方阵,且，则C(A) A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B) A必有两行（列）对应元素乘比例(C) A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D) A中至少有一行（列）向量为零向量22向量组线性相关的充要条件是( C )(A) 中有一零向量(B) 中任意两个向量的分量成比例(C) 中有一向量是其余向量的线性组合(D) 中任意一个向量均是其余向量的线性组合23若向量可由向量组线性表出,则(C )(A) 存在一组不全为零的数,使等式成立(B) 存在一组全为零的数,使等式成立(C)向量线性相关(D) 对的线性表示不唯一24对于n元方程组，正确的命题是（ D ）(A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解(C)AX=B有唯一解的充要条件是(D)如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解25设矩阵的秩为r(A)=m<n, 为m阶单位矩阵,下述结论正确的是 C(A)A的任意m个列向量必线性无关(B)A的任意个m阶子式不等于零(C)A通过初等变换, 必可化为(,0)的形式(D) 若矩阵满足,则.26非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ A ）(A) r=m时, 方程组AX=b有解(B) r=n时, 方程组AX=b有唯一解(C) m=n时, 方程组AX=b有唯一解(D) r<n时, 方程组AX=b有无穷多解27已知是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ B ）(A) (B) (C) (D)28向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则 Dr()必( )r()(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D)小于等于29设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，n）T ，那么矩阵A的秩为（ B ）(A) r(A)=1 (B) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是30设矩阵A=的秩为2，则=（ D ）A.2 B.1 C.0D.-131设n维向量组()中每一个向量都可由向量组()线性表出,且有r>s, 则( D)(A) ()线性无关 (B) ()线性相关 (C) ()线性无关 (D) ()线性相关32设是n个m维向量，且n>m, 则此向量组必定( A )(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等33矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关 (B) A中任何r列线性相关 (C) A中有r列线性无关 (D) A中线性无关的列向量最多有r个34若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关 则A的秩（ C ）(A)大于m (B)大于n (C)等于n (D) 等于m35若矩阵A中有一个r阶子式D0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（ A ）(A) r (B)r (C)=r (D) =r+136要断言矩阵A的秩为r，只须条件（ D ）满足即可(A) A中有r阶子式不等于零(B) A中任何r+1阶子式等于零(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D) A中不等于零的子式的最高阶数等于r37. 设m×n阶矩阵A，B的秩分别为，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（ A ）(A) (B) (C) (D) 38R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解( C )(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C) 必要条件 (D) 无关的条件39矩阵A=的特征值为0,2, 则3A的特征值为( B )(A) 2,2; (B) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6;40A=， 则的特征值为（ B ）(A) 2,2; (B) 2,-2; (C) 0,0; (D) 4,-4;41,是A,B的一个特征值, 是A的关于的特征向量, 则B的关于的特征向量是( C )(A) (B) (C) (D) 42A满足关系式，则A的特征值是 C(A) =2 (B) = 1 (C) = 1 (D) = 2是 43已知2是A=的特征值，其中b0的任意常数，则x=（ D ）(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 444已知矩阵A=有特征值，则x=（ D ）(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45设A为三阶矩阵，已知，则 A(A) 6 (B) 4 (C) 2 (D)446. 设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ）(A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D) 2E+A（二）计算题与填空题1，则（ ） （）2设A是矩阵,则_2_3. 设为3阶矩阵，且, 则行列式_ （-1/2）4. 当时, 向量组 线性无关.5设（ ）时可被向量组线性表出。 （-8）6. 答案：7. 设则是否为向量组的线性组合？ （是）8 确定为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解. 答： 当时，解为 ，其中为任意非零常数; 当时，解为 ，其中为任意常数;方程组不存在唯一解.9已知，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵.答 ：10 求下列矩阵的特征值与特征向量.（1） (2) . 答案： (1) ，对应于的全部特征向量是，； 对应于的全部特征向量是，； 对应于的全部特征向量是，. (2) 对应于的全部特征向量是，为非零常数； 对应于的全部特征向量为，是不同时为零的常数；11.三阶矩阵的特征值为,则的特征值为( ). (6; 2,)12. 设矩阵有一个特征向量为，求及的三个特征值.答案：，的三个特征值为.13已知向量组 的秩为3，求及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案： 为一个极大无关组，14 设向量组， (1) 为何值时，线性相关？线性无关？ (2) 为何值时，线性相关？线性无关？ (3) 当线性相关时，将表示为的线性组合.答案：(1) 时线性相关，时线性无关； (2) 或时线性相关；且且时线性无关； (3) 当时，；当时， .15设使得方程组总有解的是( ). ()16. 已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数答案：17矩阵的迹为 。（7）定义：对于阶方阵，矩对角线元素之和称为方阵的迹，记为，即，定义2.15 如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵， 则称矩阵与等价，记作（三）证明题：1. 设为矩阵，为矩阵，且，证明.证 设，则，由得，所以矩阵的列向量都是方程组的解. 设，如，则结论显然成立. 如，则方程组仅有零解，故，从而有. 如，则方程组的基础解系中有个线性无关解向量.由于的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，所以.2. 证明：对任意矩阵，有. 证 设为矩阵，为维列向量，如果满足，则有 ，即，反之，如果，则，即，从而.这说明方程组与同解，所以.专心-专注-专业