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    第10章 曲线积分和曲面积分.doc

    • 资源ID:14526050       资源大小:864KB        全文页数:17页
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    第10章 曲线积分和曲面积分.doc

    第10章 曲线积分和曲面积分参考解答1、计算下列对弧长的曲线积分: (1),其中L为由Oxy平面上的直线及抛物线所围成区域的边界。第1(1)题解:,(2),L为椭圆,其周长为a。解:注意第一类曲线积分的对称性:若曲线关于x(y)轴对称,而被积函数关于y(x)为奇函数,则曲线积分为零!(3),L为圆周()。解:圆周之参数方程为(),故(4),L为 解:(5),L圆周为解:因,故 2、计算下列对坐标的曲线积分:(1),其中L为折线上从点到点再到点的二线段。 解:,(作代换,知第二个定积分与第一个相等)(2),L是圆周,从z轴正向看去,该圆周取逆时针方向。 解:L的参数方程为,故得3、利用Green公式计算下列曲线积分:(1), L由,与x轴围成,沿逆时针方向。第3(1)题 解:L为封闭曲线,如图所示,直接运用Green公式。()但,故得。从而得(2), L由的正向。第3(2)题解:,。但和在L所围正方形区域内并不连续(在点处两者根本不存在),故不满足Green公式之条件。为此,采用“挖地雷”方法:取以原点为心、(或小于的任意正数)为半径的圆l,并取逆时针方向,如图所示。其参数方程为:于是,l和L所围区域D成为“安全地带”,在D上,P和Q均具有一阶连续偏导数,Green公式成立。于是 因此, 4、计算积分, 其中L是由点沿曲线到点的弧段。第4题解:这里,。因此,在曲线L和线段AB所围闭区域上,曲线积分与路径无关。这里,线段AB的方程为,方向为从点A指向点B。因此,。5、验证是某函数的全微分,并求出这样的一个。 解:这里,故因而,故知为某函数的全微分。以下我们用两种方法来求。方法1(利用曲线积分): 方法2(利用待定函数法):因,故得(将y看作常数)(其中为待定函数,与x无关)于是,但另一方面,故于是得 ,。因此所求函数为,其中C可取任意常数。6、计算下列对面积的曲面积分:(1),其中是锥面在柱体内的部分。 第6(1)题解:(2),其中为球面。解:因关于三个坐标面都是对称的,故,于是利用轮换对称性,因此,(注意球的表面积为)于是得(3),其中为平面被柱面所截下的部分。解: 第 6(3)题7、计算下列对坐标的曲面积分:(1),其中是圆柱面被平面和所截下的部分,取外侧。 第7(1)题 解:被yoz平面分成和两片,对于x轴正向而言,取上侧,而取下侧,它们在yoz平面上的投影区域和如上图所示。于是因此。(2),其中是球面,的外侧。解:利用公式得(3),其中是锥面被,所截部分的外侧。第 7(3)题解:利用公式,得注:第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)的解题步骤为“一投”、“二代”、“三定号”。上两题中,我们将积分统一化为在xoy平面投影区域上的二重积分,解题过程得到大大简化。这是在不适合用Gauss公式(曲面不封闭;或即使可以补成封闭,但计算未能得到简化)时常用的方法。否则,像第(1)小题那样,我们往往必须将曲面分块,分别进行投影。选择最优策略,省出宝贵时间,去做更多事情,不亦乐乎?8、利用Gauss公式计算曲面积分:(1),其中为平面,所围立体表面的外侧。解:(2),其中为下半球面的上侧。解:补一圆面:,取下侧。于是注意封闭曲面取内侧,与Gauss公式所要求的外侧相反,故第二个等式右边三重积分前有一个负号!9、求向量场在点处的散度。解:10、设流体密度为1,流速,求单位时间内从曲面 的下侧流向上侧的流量。解:将曲面记为(为旋转抛物面),补一取下侧的圆面:。于是注意封闭曲面取内侧,与Gauss公式所要求的外侧相反,故第三个等式右边三重积分前有一个负号!11、设,求的旋度,并计算曲面积分,其中为锥面,其法向量与z轴正向夹角为锐角。解:可用两种方法来计算。解法1(创造条件,运用Gauss公式)(第一类曲面积分)(第二类曲面积分)(其中为圆面之下侧,封闭曲面取外侧)(Gauss公式)(二重积分之极坐标算法)解法2(直接运用Stokes公式)(上侧)之边界线L为xoy平面上半径为2的圆,取逆时针方向,其参数方程为,于是12、用Stokes公式计算,其中为圆周,从x轴正向看,取逆时针方向。解:记,所围圆面为,取上侧。则(转化为第一类曲面积分)注意到平面之法向量为,故,因此得13、求,L为空间螺线。 解:14、设函数在XOY平面上具有一节连续偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意t,恒有,求。解:因曲线积分与路径无关,故有。故可设,其中为与x无关的待定函数。于是因,故得即,从而得,或即。因此。15、确定常数,使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求。解:向量为某二元函数的梯度,等价于说:存在某二元函数,使得,也就是说,为某二元函数的全微分。根据曲线积分与路径无关的条件,得即整理得故得。由得从而另一方面,。故得,。因此。16、求,其中为由及围成的封闭曲面的外侧,是此曲面外法线的方向余弦。解:(化为第二类曲面积分,封闭曲面取外侧)(Gauss公式)(利用三重积分之对称性)(利用柱面坐标)如有错误,敬请指正;如有疑问,欢迎讨论!17

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